Потенциальная энергия

[Pineapple]

Как доказать, что потенциальная энергия заряда равна $W=k\frac { { q }_{ 1 }{ q }_{ 2 } }{ r } $ ?

[Ms-dos4]

Из определения потенциала(электростатического)

[DimaM]

Pineapple в сообщении #796693 писал(а):

Как доказать, что потенциальная энергия заряда равна $W=k\frac { { q }_{ 1 }{ q }_{ 2 } }{ r } $ ?

Не заряда, а пары зарядов. Доказывается обычным способом: закрепляем один, приносим второй из бесконечности, интегрируя по пути работу силы взаимодействия.

[HukumuH]

Согласно главы 1 пособия http://window.edu.ru/resource/565/69565/files/XH.pdf потенциал гравитационного поля - скаляр, градиент которого равен ускорению свободного падения. Угадывая, градиент чего даст формулу ускорения свободного падения, автор получил:
$\varphi=\frac{Gm}{r}$
Действительно, так как $r=\sqrt{{x}^2+{y}^2+{z}^2}$ и ${\partial (r^{-1})\over\partial x}= -\frac{x}{r^3}$ , то

$\nabla\frac{Gm}{r} = \frac{Gm}{r}({\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}) = Gm({\partial (r^{-1})\over\partial x}\vec{i}+{\partial (r^{-1})\over\partial y}\vec{j}+{\partial (r^{-1})\over\partial z}\vec{k}) = Gm({\partial (r^{-1})\over\partial x}\vec{i}+{\partial (r^{-1})\over\partial y}\vec{j}+{\partial (r^{-1})\over\partial z}\vec{k})=Gm(-{x\over{r^3}}\vec{i}-{y\over{r^3}}\vec{j}-{z\over{r^3}}\vec{k}) = -{Gm\over{r^3}}(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}) = -{Gm\over{r^3}}(\vec{r})$.

Последнее выражение есть формула ускорения. Знак "минус" здесь не вызывает у меня вопросов: если ускорение направить в другую сторону, манипуляции со знаками и векторами покажут мне это. То есть математика подстраховывает меня и мне не нужно долго анализировать, куда что направить, чтобы было правильно.

Далее. В книжке говорится, потенциал - это работа по переносу единицы массы с $ r $ до $ \infty $ против силы тяжести или потенциальная энергия со знаком минус в точке $ r $. Я не понимаю, откуда здесь берется знак "минус". Очевидно, из-за того, что работу отсчитывают от бесконечности, а потенциальную энергию от противоположного конца шкалы. В сумме они должны равняться некой константе, которая почему-то равна нулю. Если взять чисто логику, то становится видно, что падая, тело получает прирост скорости, следовательно с потерей высоты должна уменьшаться потенциальная энергия. Но почему я должен прибегать к мысленным экспериментам, чтобы определить знаки? Разве математика не может обо мне позаботиться и дать ответ автоматически (как в случае с ускорением свободного падения)?

И уж совсем худо мне от формулы $\ E_p=mgh$. Почему здесь нет знака "минус"? На вики http://ru.wikipedia.org/wiki/Силовое_поле_(физика) есть 2 формулы: ускорения свободного падения, с минусом в которой я согласен, так как он легко проверяется, и формула потенциальной энергии, минус в которой мне не понятен. Можно ли вывести из формулы $U(\vec r) = - G\frac{mM}{r}$ формулу $\ E_p=mgh$?

[DimaM]

HukumuH в сообщении #810160 писал(а):

Можно ли вывести из формулы $U(\vec r) = - G\frac{mM}{r}$ формулу $\ E_p=mgh$?

Можно. Обычно полагается, что $E_p=U(r+h)-U(r)$ при $h\ll r$. Это выражение надо разложить в ряд до первой степени $h$, бонусом получается выражение для $g$.

-- 06.01.2014, 20:55 --

HukumuH в сообщении #810160 писал(а):

В книжке говорится, потенциал - это работа по переносу единицы массы с $ r $ до $ \infty $ против силы тяжести или потенциальная энергия со знаком минус в точке $ r $.

Если в книжке действительно именно так говорится, то лучше эту книжку выкинуть и взять другую.

[HukumuH]

Цитата:

Если в книжке действительно именно так говорится, то лучше эту книжку выкинуть и взять другую.

В конце 10 и начале 11 стр.:
http://**invalid link**/a/img835/2329/52ij.jpg
http://**invalid link**/a/img842/7164/cyj7.jpg

Цитата:

Потенциал (1.5) имеет физический смысл работы, требуемой для удаления пробной точки Q единичной массы на бесконечность. Его принимают за гравитационную потенциальную энергию (со знаком минус) единицы массы Q в поле притягивающего центра Q'.

DimaM в сообщении #810174 писал(а):

HukumuH в сообщении #810160 писал(а):

Можно ли вывести из формулы $U(\vec r) = - G\frac{mM}{r}$ формулу $\ E_p=mgh$?

Можно. Обычно полагается, что $E_p=U(r+h)-U(r)$ при $h\ll r$. Это выражение надо разложить в ряд до первой степени $h$, бонусом получается выражение для $g$.

Не получается формула ускорения в векторном виде , где минус появляется сам собой. В формуле потенциальной энергии, которая есть скаляр, знак "минус" тогда просто объясняется тем, что кто-то вручную принял потенциальную энергию за "минус работу". А почему не принять $1 \over A$? Тогда тоже с набором высоты работа будет уменьшаться (по формуле потенциала умноженного на массу), а пот. энергия увеличиваться, как это и происходит в реальности. Мне не по душе эти ручные приемы. Есть ли какое-то доказательство, из которого выплывает этот минус?

[maxwader]

Потенциальной энергией обладает тело находящееся в гравитационном поле. Еп. равна mgh. Она может переходить в энергию движения (кинетическую.) Например, когда мяч падает, то он обладает потециальной энергией, а когда отскакивает от земли, то кинетической.

[Aritaborian]

То есть, когда мяч падает, кинетической энергией он не обладает? А когда отскакивает, уже не обладает потенциальной?

(Оффтоп)

Господи, откуда сразу после Нового года столько ушлёпков всяких понарегистрировалось-то?

[HukumuH]

maxwader в сообщении #810451 писал(а):

Потенциальной энергией обладает тело находящееся в гравитационном поле. ...

Во-первых, в однородном гравитационном поле. Во-вторых, формула приближенная. Если подставить $g=G\frac{M}{r^2}$ и $h = r$, то получим неправильную формулу . (Или правильную?)

Цитата:

Например, когда мяч падает, то он обладает потециальной энергией, а когда отскакивает от земли, то кинетической.

То есть вся потенциальная энергия в верхней точке перешла в кинетическую в нижней точке, полностью. (Или не полностью? А что будет, если под мячом прокопать тоннель? В момент пролета асфальта мяч получит впрыск потенциальной энергии? Но кто делает этот впрыск? И откуда мяч вообще знает, есть тоннель или нет?)

[maxwader]

Потенциальной энергией обладает тело находясь в поле. Она равна mgh.

[DimaM]

HukumuH в сообщении #810258 писал(а):

В конце 10 и начале 11 стр.: http://**invalid link**/a/img835/2329/52ij.jpg http://**invalid link**/a/img842/7164/cyj7.jpg
Цитата:

Потенциал (1.5) имеет физический смысл работы, требуемой для удаления пробной точки Q единичной массы на бесконечность. Его принимают за гравитационную потенциальную энергию (со знаком минус) единицы массы Q в поле притягивающего центра Q'.

Вот я и пишу, что такую книжку лучше не читать, а найти нормальную.

HukumuH в сообщении #810258 писал(а):

Не получается формула ускорения в векторном виде , где минус появляется сам собой.

Получается. Связь силы и потенциальной энергии ${\bf F}=-\nabla U$, в данном случае $\nabla\equiv d/dh$.

-- 07.01.2014, 14:43 --

HukumuH в сообщении #810458 писал(а):

Если подставить $g=G\frac{M}{r^2}$ и $h = r$, то получим неправильную формулу . (Или правильную?)

Я ж выше написал, куда надо подставить $h$, чтобы получить правильную формулу. Почему вы не читаете?

(Оффтоп)

И не надо спорить с идиотами - они при этом занимаются тем же.

[ewert]

HukumuH в сообщении #810258 писал(а):

Есть ли какое-то доказательство, из которого выплывает этот минус?

Минус выплывает не из доказательства, а из определения. Если принять по определению, что полная энергия есть именно сумма кинетической и потенциальной, то изменение потенциальной энергии (при постоянстве кинетической) равно работе внешних сил. Соответственно, работа сил самого поля равна минус изменению потенциальной энергии.

[Toucan]

maxwader в сообщении #810493 писал(а):

Потенциальной энергией обладает тело находясь в поле. Она равна mgh.

maxwader, замечание за бессодержательное сообщение.

[ivanhabalin]

(Оффтоп)

Странная она "потенциальная энергия". Находимся в гравитационном поле Земли, но и Солнца и Марса и т.д. относительная она.. . Правда Munin говорил: "с какой точностью хотим определить". Но мы все во вселенной и наверное по отношению к ней, тоже, есть, что то в этом смысле.

[Munin]

ivanhabalin в сообщении #810570 писал(а):

Правда Munin говорил: "с какой точностью хотим определить".

В данном случае - не только "с какой точностью", но и "в каком смысле".