как подсказал Munin, там, конечно же, должен быть коэффициент, учитывающий, что электрон точечный, а площадь пластины конечна, но как его посчитать запросто придумать не могу
Тут одним коэффициентом не обойдешься. Надо учитывать, что происходит перераспределение заряда по пластине, так что все сложнее (и одновременно в итоге проще).
По-простому, величину
![$\Delta U$ $\Delta U$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/5/0c5165fb66b3786d1ae11ca6367830a582.png)
можно найти, если заметить, что разность потенциалов не изменится, если заряд размазать по некоторой площадке (большой в сравнении с
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
, но малой по сравнению с размерами пластин конденсатора). В этом случае расчет элементарен и приводит к результату, что я привела раньше.
Можно вычислить
![$\Delta U$ $\Delta U$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/5/0c5165fb66b3786d1ae11ca6367830a582.png)
и по-другому, исходя из соотношения
![$$
\varphi_i=\sum_j a_{ij}q_j\,,\eqno(1)
$$ $$
\varphi_i=\sum_j a_{ij}q_j\,,\eqno(1)
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/5/e45eff474256fdcae39a9f0c4a76e92082.png)
где
![$a_{ij}=(C^{-1})_{ij}$ $a_{ij}=(C^{-1})_{ij}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/7/52770d538011cc8256d8c4cab90d098e82.png)
-- коэффициенты матрицы, обратной к
![$C_{ij}$ $C_{ij}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/7/34787a737f93a895f3ca427befc45c2582.png)
. При этом точечный заряд можно формально рассматривать как очень маленький проводящий шарик. Дальше нужно расписать (1) для двух случаев: вашем (пластины заряжены с зарядом
![$\pm Q$ $\pm Q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/d/ecdaaa12229efaf162f89b76e087b33f82.png)
, на шарике заряд
![$q=-e$ $q=-e$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/4/12434e00032f4343d5ee5e1202f3935582.png)
) и когда пластины заряжены а шарик -- нет. Из второй системы уравнений вы получите соотношения на коэффициенты
![$a_{ij}$ $a_{ij}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/0/db0dce2a6a38aedb28d33f6650cb22e882.png)
:
![$$
C=[a_{11}+a_{22}-2a_{12}]^{-1},\quad a_{10}-a_{20}=-\frac{x}{Cd}\,.
$$ $$
C=[a_{11}+a_{22}-2a_{12}]^{-1},\quad a_{10}-a_{20}=-\frac{x}{Cd}\,.
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/7/f77ad95f714b4e31b848c173c69ab11382.png)
Тут индекс "0" относится к шарику, а "1,2" -- к пластинам,
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
-- емкость конденсатора,
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
-- смещение в направлении по полю. Из первой системы находится
![$U$ $U$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/a/6bac6ec50c01592407695ef84f45723282.png)
:
![$$
U=\varphi_1-\varphi_2=Q(a_{11}+a_{22}-2a_{12})+q(a_{10}-a_{20})=\frac{Q}{C}-\frac{qx}{Cd}.
$$ $$
U=\varphi_1-\varphi_2=Q(a_{11}+a_{22}-2a_{12})+q(a_{10}-a_{20})=\frac{Q}{C}-\frac{qx}{Cd}.
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/0/c603fcbc5d6e11a56aea2cf980c3112182.png)
Второе слагаемое и есть ваше
![$\Delta U$ $\Delta U$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/5/0c5165fb66b3786d1ae11ca6367830a582.png)
(вычисление по методу изображений технически сложнее, но приводит к тому же результату).