Контур с электроном в ёмкости. Помогите подступиться

[BasilKrzh]

Есть задача: "Найти, чему равен сдвиг собственной частоты LC контура, если в емкость “вложен” свободный электрон". Никак не могу придумать, как подступиться. Вроде бы умею считать контуры и в частотной, и во временной области, умею находить отклик на различное воздействие, но никак не могу придумать, как связать положение электрона в ёмкости с её параметрами (т.е. как замкнуть систему уравнений). Подскажите, пожалуйста, идею...

[Munin]

Давайте считать электрон частицей массы $m$ и заряда $-e,$ которая болтается в плоском конденсаторе между пластинами, ни с одной пластиной не соприкасается (ну, такие частоты и начальное положение подобрались), и на неё не действует сила тяжести (чтобы не отвлекаться, а вдруг выпадет).

[BasilKrzh]

Да, это замечательно,такую модель я понимаю. Я не понимаю, как связать положение электрона с параметрами контура (конденсатора, в котором он болтается), т.е. как электрон влияет на контур.

-- 05.01.2014, 21:58 --

Можно предположить слабую связь и написать что-то типа:
$\begin{cases} m_{e}\ddot{x}(t)=-e \frac{q(x,t)}{C d}\\ \ddot{q}(t,x)L + q(t,x)\frac{1}{C} + \Delta U_{C}(x)=0\\ \Delta U_{C}(x)=-e(\frac{1}{d/2-x}-\frac{1}{d/2}) \end{cases}$
где: $x(t)$ - смещение электрона от середины конденсатора, $q(x,t)$ - заряд конденсатора, $ \Delta U_{C}$ - дополнительная разность потенциалов, вносимая электроном в конденсатор. Но как-то мне это не нравиться.

-- 05.01.2014, 22:09 --

Хотя, в предположении $ x<<d$ это, вроде, решится...

[BasilKrzh]

Поскольку пока никто не отвечает, изложу, что я надумал. Если разложить $\Delta U_{C}(x)$ при малых $x(t)$ и подставить 1 и 3 выражения во второе получим дифур на $x(t)$:
$x^{(4)}+\frac{1}{LC}x^{(2)}+\frac{4e^2}{m d^3}\frac{1}{LC} x = 0$,
или же, обозначив $\omega_{0}^2 =\frac{1}{LC},\text{ } a^2 = \frac{4e^2}{m d^3}$:
$x^{(4)}+\omega_{0}^2 x^{(2)}+ a^2 \omega_{0}^2 x = 0$,
Который имеет решения $x_{1,2,3,4}=e^{i\omega_{1,2,3,4}t}$, где $\omega_{1,2,3,4} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\omega_{0}\sqrt{1\pm\sqrt{1-4a^2/\omega_{0}^2}}$. При условии $\omega_{0} >> a$ получаем 2(!) физически разные частоты $\omega_{I} = a$ и $\omega_{II} = \omega_{0}(1-\frac{a^2}{2\omega_{0}^2})$. Если в случае II можно сказать, что $\Delta\omega_{e} = \frac{a^2}{2\omega_{0}}$, то что такое I случай (в том числе и физически) совершенно непонятно. Подскажите, пожалуйста, насколько правильно решение и что делать с пунктом I?

-- 05.01.2014, 23:08 --

Хотя, судя по всему оценка $\omega_{0} >> a$ нифига не правильная, а даже наоборот $\omega_{0} << a \sim 1 \text{МГц}. Меня не покидает ощущение, что я наворотил фигни

[Munin]

Кажется, всё разумно. Пункт I можно отбросить, а пункт II оставить, из соображения, что ответ должен быть малой поправкой к исходной частоте.

Одно меня терзает: кажется, что в
$\Delta U_C(x)=-e\Bigr(\dfrac{1}{d/2-x}-\dfrac{1}{d/2}\Bigr)$
должен стоять ещё какой-то коэффициент, который надо прикинуть из свойств конденсатора. Потому что электрон, по сравнению с площадью пластин, маленький.

[MacSinus]

Хм, хорошая задачка. Ваша оценка представляется правдоподобной, сейчас попробую расписать, может что получу. Но первая мысль у меня появилась какая: электрон будет индуцировать на пластинах конденсатора неоторый заряд. Этот заряд будет равный на обоих пластинах только в случае если электрон находится в середине шарика. Если нет - то будет какой-то дополнительный дипольный момент, который можно представить как поляризацию пространства между пластинами, т.е. как будто в нее внесен диэлектрик. Но путь довольно трудоемкий.

Еще идея какая, в плазме электроны тоже свободны. И у нас есть формулы для диэлектрической проницаемости плазмы. Применить их, полагая что в пространство помещен диэлектрик с соответствующей диэлектрической проницаемостью.

[Munin]

MacSinus в сообщении #809945 писал(а):

Этот заряд будет равный на обоих пластинах только в случае если электрон находится в середине шарика. Если нет - то будет какой-то дополнительный дипольный момент, который можно представить как поляризацию пространства между пластинами, т.е. как будто в нее внесен диэлектрик. Но путь довольно трудоемкий.

Заряд можно найти методом отражений. Правда, потом будут отражения отражений, бесконечные, как в двух зеркалах.

[BasilKrzh]

Дело в том, что судя по всему разложить ответ в ряд так, как это сделал я нельзя; на самом деле $\omega_{0} (\sim 100 \text{Гц}) << a (\sim 1 \text{МГц})$ (http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq ... vity%29%29). Про коэффициент в $ \Delta U_{C}$ не понял, как его получать (если у нас, скажем, 2 квадратные обкладки). Тут написал ещё одно решение, получилось совсем странно:
Решаем методом последовательных приближений. Сначала полагаем, что электрон на контур никак не влияет и контур колеблется сам по себе по закону: $q(t)=Q_{0}e^{i\omega_{0} t}$. Тогда $m_{e}\ddot{x}(t)=-e \frac{q(t)}{C d}=-e \frac{Q_{0}e^{i\omega_{0} t}}{C d}$ (где $C$ - ёмкость конденсатора, $d$ - расстояние между пластинами)и, значит, $x(t) = \frac{e Q_{0}}{m_{e} C d } \frac{1}{\omega_{0}^2}e^{i\omega_{0} t}$. Теперь рассмотрим уравнение для контура с учётом влияния электрона в конденсаторе $\ddot{q}(t,x)L + q(t,x)\frac{1}{C} + \Delta U_{C}(x)=0$, где $ \Delta U_{C}=-e(\frac{1}{d/2-x}-\frac{1}{d/2})\approx \frac{4xe}{d^2}$. В итоге получаем диффур:
$\ddot{q} + \omega_{0}^2 q + a^2 Q_{0} e^{i\omega_{0}t}=0$, где снова обозначено $\omega_{0}^2 =\frac{1}{LC},\text{ } a^2 = \frac{4e^2}{m d^3}$. Решения этого диффура есть $q(t)=Q_{1}\cos{\omega_{0}t} + Q_{2}\sin{\omega_{0}t} +\frac{a^2 Q_{0}}{4 \omega_{0}^2} (2 i t \omega_{0}-1) e^{i\omega_{0} t}$. Тут совсем ничего не понятно, какой-то бесконечно растущий член и никакого сдвига частоты (что, наверное, есть следствие метода последовательных приближений)...

-- 06.01.2014, 00:34 --

Надо думать, электрон при таком решении задачи - некая "внешняя" сила, закачивающая энергию в систему, что неверно. Непонятно только, где ошибка в логике рассуждений.

[BasilKrzh]

Не мог бы кто-нибудь, пожалуйста, прокомментировать мои последние замечания?

[Munin]

Считать надо. Мозги не варят.

[mihiv]

Может быть действовать примерно так: 1. Найти движение электрона при заданном переменном напряжении на конденсаторе. 2. Методом изображений найти распределение наведенного заряда на пластинах. 3. Дополнительный ток через конденсатор, связанный с перераспределением наведенного заряда во времени, целиком приписать изменению емкости конденсатора, вызванному присутствием электрона. 4. Зная изменение емкости найти сдвиг резонансной частоты контура.

[lucien]

BasilKrzh в сообщении #810753 писал(а):

Не мог бы кто-нибудь, пожалуйста, прокомментировать мои последние замечания?

У вас две ошибки: неправильно нашли $ U $ (должно быть $ex/Cd $) и его знак (отсюда лишний корень).

[BasilKrzh]

lucien
На счет значения $\Delta U_C(x)=-e\Bigr(\dfrac{1}{d/2-x}-\dfrac{1}{d/2}\Bigr)$ - это же просто дополнительная разность потенциалов, вносимая электроном на оси, вдоль которой он колеблется (как подсказал Munin, там, конечно же, должен быть коэффициент, учитывающий, что электрон точечный, а площадь пластины конечна, но как его посчитать запросто придумать не могу). А что такое $ex/Cd $ я как-то совсем в толк не возьму. Или вы говорили о каком-то другом $ U $ ?

Вообще, как мне кажется, правильно, методом отражений искать индуцированный заряд, даром что муторно. Посчитаю на досуге

[lucien]

BasilKrzh в сообщении #812317 писал(а):

как подсказал Munin, там, конечно же, должен быть коэффициент, учитывающий, что электрон точечный, а площадь пластины конечна, но как его посчитать запросто придумать не могу

Тут одним коэффициентом не обойдешься. Надо учитывать, что происходит перераспределение заряда по пластине, так что все сложнее (и одновременно в итоге проще).

По-простому, величину $\Delta U$ можно найти, если заметить, что разность потенциалов не изменится, если заряд размазать по некоторой площадке (большой в сравнении с $d$, но малой по сравнению с размерами пластин конденсатора). В этом случае расчет элементарен и приводит к результату, что я привела раньше.

Можно вычислить $\Delta U$ и по-другому, исходя из соотношения

$$ \varphi_i=\sum_j a_{ij}q_j\,,\eqno(1) $$

где $a_{ij}=(C^{-1})_{ij}$ -- коэффициенты матрицы, обратной к $C_{ij}$. При этом точечный заряд можно формально рассматривать как очень маленький проводящий шарик. Дальше нужно расписать (1) для двух случаев: вашем (пластины заряжены с зарядом $\pm Q$, на шарике заряд $q=-e$) и когда пластины заряжены а шарик -- нет. Из второй системы уравнений вы получите соотношения на коэффициенты $a_{ij}$:

$$ C=[a_{11}+a_{22}-2a_{12}]^{-1},\quad a_{10}-a_{20}=-\frac{x}{Cd}\,. $$

Тут индекс "0" относится к шарику, а "1,2" -- к пластинам, $C$ -- емкость конденсатора, $x$ -- смещение в направлении по полю. Из первой системы находится $U$:

$$ U=\varphi_1-\varphi_2=Q(a_{11}+a_{22}-2a_{12})+q(a_{10}-a_{20})=\frac{Q}{C}-\frac{qx}{Cd}. $$

Второе слагаемое и есть ваше $\Delta U$ (вычисление по методу изображений технически сложнее, но приводит к тому же результату).