Оптимальный размер

[Skeptic]

Закон Гука предполагает постоянную жёсткость резины. А если принять, что жёсткость резины нелинейно зависит от приложенной силы (растяжения), то возможно это даст однозначный ответ.

[nikvic]

Skeptic в сообщении #809499 писал(а):

А если принять, что жёсткость резины нелинейно зависит от приложенной силы (растяжения), то возможно это даст однозначный ответ.

Не думаю, что предполагаются столь инженерные знания.

[Munin]

В общем, не надо изобретать таких уж сложностей.

Рогатку растягивают на одну и ту же длину (она определяется длиной рук). Это даёт энергию $kx^2/2=\mathrm{const}$ (ну или с учётом нелинейности и формы рогатки, но всё равно $\mathrm{const}$).

Потом вся эта энергия передаётся камню. Получается $mv^2/2=\mathrm{const}.$ Дальность (при начальном угле $45^\circ$) $L=2v^2/g.$ Получается, при $m\to 0$ можно достичь $L\to\infty.$

Возникает вопрос, а чем же ограничена в реальности максимальная дальность. Ведь мы знаем, что наша упрощённая модель - всего лишь упрощение. Можно учесть много других факторов, но главное - это какие из них действительно важны (велики, влияют на ответ), а какие - нет (более мелкие, или не отражаются на ответе).

Первое, что мне приходит в голову - масса разгоняющей части (резинка плюс ложе для камня) самой рогатки.

[nikvic]

Munin в сообщении #809506 писал(а):

Первое, что мне приходит в голову - масса разгоняющей части (резинка плюс ложе для камня) самой рогатки.

Резинка растягивается раз в пять (?), в режиме рогатки имеет удельную энергию несколько более тысячи джоулей на килограмм. (Нашёл только в режиме резиномотора - там до 5000).
Ложе для камней не обязательно - если не использовать гайки М14
Берёца "галка" из проволоки, желательно - свинцовой....

[Munin]

nikvic в сообщении #809513 писал(а):

Ложе для камней не обязательно - если не использовать гайки М14 :wink: Берёца "галка" из проволоки

В задаче говорится о камне. Возможно, проволока гораздо меньше использовалась в середине 20 века.

[nikvic]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #809517 писал(а):

Возможно, проволока гораздо меньше использовалась в середине 20 века.

В классе - галки из бумаги, проволокой стреляли настоящие хулиганы.
В институте - проволока и два гвоздя в подоконник. Сквозь открытую форточку разбил плафон в соседней общаге. В Долгопе была большая войнушка

[zvm]

Munin в сообщении #809506 писал(а):

Это даёт энергию $kx^2/2=\mathrm{const}$ (ну или с учётом нелинейности и формы рогатки, но всё равно $\mathrm{const}$).
Потом вся эта энергия передаётся камню.

Не вся. Часть энергии идет на разгон резины.

[exitone]

Munin в сообщении #809506 писал(а):

Первое, что мне приходит в голову - масса разгоняющей части (резинка плюс ложе для камня) самой рогатки.

Если есть ложе для камня, то тем самым (при фиксированной массе) нам безразличны размеры шарика, до тех пор пока он не деформирует резинку.

[exitone]

(шарик == камень)

[Munin]

zvm в сообщении #809527 писал(а):

Не вся. Часть энергии идет на разгон резины.

Прочитать двумя строчками ниже было не судьба?

[tatkuz1990]

Можно порассуждать без математики. Итак, сопротивления воздуха нет. Возьмем пушечное ядро диаметром 100 мм. Рогатка такая, что ядро все-таки пройдет. Резинка немного получше, чем от трусов. Натягиваем инструмент, отпускаем и... Ядро падает где-то в сантиметрах 20 от кроссовок. Вся энергия резинки ушла в гудок.
Теперь берем маленький свинцовый шарик, например, дробинку. Метров на 200 запулить вполне реально, если вокруг будет глубокий вакуум. Наверное, чем меньше камушек, тем дальше улетит.

[Aritaborian]

У вас получается, что ответ $0$

[Александрович]

У меня тоже так получается.

[ewert]

Тут, наверное, дело вот в чём. Если рассматривать идеализированный случай, когда по обе стороны от камня резинка прямолинейна, то по закону сохранения энергии $\frac{\mu lv^2}6+\frac{Mv^2}2=U$, где $v$ -- конечная скорость камушка, $M$ -- его масса, $\mu$ -- линейная плотность резинки, $l$ -- её длина и $U$ -- начальная потенциальная энергия (т.е. перепад энергий, конечно). И при уменьшении массы грузика скорость соответственно возрастает, конечно, как и положено. Но! если масса становится слишком малой, то эта идеализация перестаёт работать. И в пределе, когда $M$стремится к нулю, мы получаем (опять же идеализированно) просто струну, по которой бежит трапециевидная волна. Т.е. два крайних наклонных участка у неё остаются неподвижными, а посередине бежит вниз (по графику) расширяющийся горизонтальный участок. И по достижении этим участком положения равновесия закон сохранения энергии приобретает вид $\frac{\mu lv^2}2=U$. Т.е. даёт существенно меньшую конечную скорость по сравнению с $\frac{\mu lv^2}6=U$, как оно было бы при сохранении "двузвенной" формы струны. Что там будет в "некрайних" случаях -- надо честно считать. Но очень похоже на то, что максимум скорости достигается именно в одном из промежуточных случаев, и тогда он соответствует, естественно, ситуации, когда массы камушка и резинки одного порядка (просто по соображениям размерности).

[lucien]

Более реалистично учесть силу сопротивления. При стандартной квадратичной зависимости от скорости $F\sim Sv^2$ для дальности полета получим $l\sim v_0a$, где $a$ -- размер камушка, $v_0$ -- его стартовая скорость. Это соотношение ограничиват $a$ (а значит и $m$) снизу.