Разные простые вопросы по математике

[Denis Russkih]

А-а-а!!! Бли-и-инн... Дошло, кажется! :)

Munin в сообщении #809178 писал(а):

То, что пишут Xaositect и provincialka, закройте ладошкой.

Ваш совет несколько запоздал, я уже успел прочесть эти посты. :) Правда, затем ещё несколько минут тупил по инерции. Почти завершил ещё один огромный пост с глупыми вопросами, и вот тут меня и накрыло. :)

Если я правильно понял, то ответ всё это время был у меня под носом. Собственно говоря, задачу уже давно решили и разжевали для меня решение, а я всё тупил и тупил.

Нет, ну это надо же, в четырёх соснах так заблудиться. А ведь там нет никакой мистики, и решить задачу очень просто: мы всего лишь берём степени двойки и ставим их в соответствие показателям степеней. :)

$\begin{array}{c|cccc} (\{0,1,2,3\},+) & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline (\{1,2,3,4\},\cdot) & 1 & 2 & 4 & 3 \\ \end{array}$

Можно и покрупнее запилить таблицу при желании:

$\begin{array}{c|cccccccccc} (\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},+) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline (\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},\cdot) & 1 & 2 & 4 & 8 & 5 & 10 & 9 & 7 & 3 & 6 \\ \end{array}$

Ведь для группы $(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},\cdot)$ всё будет вот так:

$\begin{array}{ccccc} 2^0 = 1 & 2^1 = 2 & 2^2 = 4 & 2^3 = 8 & 2^4 = 5 & 2^5 = 10 & 2^6 = 9 & 2^7 = 7 & 2^8 = 3 & 2^9 = 6 \\ \end{array}$

Да-а, прикольная вещь эти мультипликативные группы. :) Чуть мозг мне не взорвали. А всё оказалось элементарно.

provincialka в сообщении #809165 писал(а):

Значит, двойка играет в мультипликативной группе ту же роль, что единица в аддитивной.

Это именно та ключевая вещь, до которой я никак не мог додуматься. :) Мне даже в голову не приходило, что между ними можно провести такую обалденную аналогию!

Вот что значит пытаться перескакивать в обучении через несколько ступенек. Небольшой пробел в знаниях — и мозг уже не может "зацепить" нужную цепочку рассуждений, начать её раскручивать. (Если только это не мозг Эйнштейна какого-нибудь. Который сам способен на ходу заполнить пробел.)

Как бы то ни было, за этот день я чаще включал мыслительный аппарат, чем обычно за всю неделю. Это было круто. Спасибо всем! :)

[Munin]

Теперь можно и первое упражнение попробовать :-)

-- 03.01.2014 23:13:27 --

Кстати, обратите внимание на скобочку:

provincialka в сообщении #809165 писал(а):

Получается, что все элементы группы можно получить как степени двойки (или тройки).

Если вы берёте больше элементов - то "или любого простого числа".

[provincialka]

Denis Russkih, в группах, даже конечных, есть много интересных вещей. Вот например, существуют ли еще какие-нибудь группы четвертого порядка, не изоморфные уже приведенным? А сколько существует неизоморфных групп пятого порядка? Впрочем "с наскоку" эти вопросы решить трудно. Нужно еще кое-что узнать про эти самые группы.

[Xaositect]

Denis Russkih в сообщении #809275 писал(а):

Как бы то ни было, за этот день я чаще включал мыслительный аппарат, чем обычно за всю неделю. Это было круто. Спасибо всем! :)

Ну вот, можете себе устраивать математические выходные, поначалу раз в недельку :) Мы Вам что-нибудь еще напишем.

[nnosipov]

Munin в сообщении #809277 писал(а):

Если вы берёте больше элементов - то "или любого простого числа".

Это Вы про первообразные корни говорите? Если так, то, конечно, не любого. Так, степени пятёрки не дадут все ненулевые остатки от деления на $11$. И степени тройки, кстати, тоже.

-- Сб янв 04, 2014 02:41:04 --

Denis Russkih в сообщении #809275 писал(а):

Можно и покрупнее запилить таблицу при желании:

$$\begin{array}{c|cccccccccc} (\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},+) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline (\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},\cdot) & 1 & 2 & 4 & 8 & 5 & 10 & 9 & 7 & 3 & 6 \\ \end{array}$$

Ведь для группы $(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},\cdot)$ всё будет вот так:

$$\begin{array}{ccccc} 2^0 = 1 & 2^1 = 2 & 2^2 = 4 & 2^3 = 8 & 2^4 = 5 & 2^5 = 10 & 2^6 = 9 & 2^7 = 7 & 2^8 = 3 & 2^9 = 6 \\ \end{array}$$

Вот здесь обобщить-то не слишком просто. В данном случае просто повезло --- двойка оказалась первообразным корнем по модулю $11$.

[Xaositect]

Угу, например по модулю 7 с двойкой не получится.

[Munin]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #809286 писал(а):

Так, степени пятёрки не дадут все ненулевые остатки от деления на $11$. И степени тройки, кстати, тоже.

А вот это для меня открытие.

[Nemiroff]

Denis Russkih в сообщении #809275 писал(а):

Можно и покрупнее запилить таблицу при желании:

$\begin{array}{c|cccccccccc}
(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},+) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline (\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},\cdot) & 1 & 2 & 4 & 8 & 5 & 10 & 9 & 7 & 3 & 6 \\
\end{array}$

Это вам повезло, конечно. Для проверки везения, попробуйте построить другой изоморфизм. Взять не степени двойки, а другого числа. Сколько получится построить?

[Denis Russkih]

Кстати, я вообще-то подозревал, что 2 подходит не во всех случаях. :) Но слишком углубляться в этот вопрос не стал, потому что мозги и так уже были квадратными от попыток объять непонятное. (Мелькала мысль перепробовать все числа до 10, но понял, что уже не потяну.)

По сути, мне важно было усвоить принцип. Понять, как решаются такие задачи хотя бы в частных случаях. А всякие тонкости можно бесконечно наворачивать. :) Чем больше человек узнаёт, тем больше открывается простора для разнообразных уточнений. :) Но это уже надо брать нормальный учебник и изучать всерьёз.

[Munin]

Ну так, табличку соответствия между $(\mathbb{R},+)$ и $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ напишите. Бесконечную :-)

[Aritaborian]

Причём количество строк (ну или столбцов) в ней будет даже не счётным, а мощности континуума. На что бы это Munin таким образом намекает, интересно? ;-)

[Munin]

Ни на что. Это не играет роли. Бесконечность и так и так написать нельзя.

[Denis Russkih]

А нельзя ли как-то вот так сделать?

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \rule{0pt}{3ex} (\mathbb{R},+) & x \neq 0 & 0 \\[1ex] \hline \rule{0pt}{3ex} (\mathbb{R^+},\cdot) & C^x & 1 \\[1ex] \hline \end{array}$

Где в качестве константы $C$ можно взять любой элемент множества $(\mathbb{R^+},\cdot)$, за исключением единицы. То есть, $C \in (\mathbb{R^+},\cdot), \hspace{2px} C \neq 1$.

Тогда вот эту задачу:

Munin в сообщении #808961 писал(а):

Упражнение: найдите, в какие элементы группы $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ должны быть переименованы такие элементы группы $(\mathbb{R},+)$: $0,1,2,-1,-3.$ Указание: ответ неоднозначен.

Можно решить, к примеру, так (взяв $2$ в качестве $C$):

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \rule{0pt}{3ex} (\mathbb{R},+) & 0 & 1 & 2 & -1 & -3 \\[1ex] \hline \rule{0pt}{4ex} (\mathbb{R^+},\cdot) & 1 & 2 & 4 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{8} \\[2ex] \hline \end{array}$

Или, скажем, так (взяв $\dfrac{1}{3}$ в качестве $C$):

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \rule{0pt}{3ex} (\mathbb{R},+) & 0 & 1 & 2 & -1 & -3 \\[1ex] \hline \rule{0pt}{4ex} (\mathbb{R^+},\cdot) & 1 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{9} & 3 & 27 \\[2ex] \hline \end{array}$

Странно, конечно, но вот так получается. :)

Или я опять что-то упускаю?

[Munin]

Правильно! :-)

Теперь вы должны в какой-то мере "ощутить", что группы $(\mathbb{R},+)$ и $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ - "одно и то же". Их внутренние устройства одинаковы. Для теории, которая занимается этим самым внутренним устройством (для теории групп), различать их нет никакой надобности. Поэтому она абстрагируется от отличий - считает их одной и той же группой, единственной с таким внутренним устройством. Единственной с точностью до изоморфизма.

[Denis Russkih]

Ух, прикольно. :) Это поражает воображение, сама мысль о том, что в каком-то смысле они представляют собой один и тот же математический объект.