Интегралы, содержащие дельта-функцию

[TeraWATT]

Помогите пожалуйста разобраться с интегралами, содержащими $\delta$-функции. Допустим, мне нужно посчитать

$$\int_{0}^{2} x\delta(\sin(\pi x)) dx$$

Согласно http://pskgu.ru/ebooks/b12/b12_pril1.pdf (П3), у меня получится $0+1+2=3$. правильно ли это?

[Vince Diesel]

Нет. Каким образом определяется $\delta(f(x))$?

[exitone]

В.С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике § 1. Основные и обобщенные функции 9. Замены переменных в обобщенных функциях (35).

[Munin]

TeraWATT в сообщении #809204 писал(а):

Допустим, мне нужно посчитать

$$\int_{0}^{2} x\delta(\sin(\pi x)) dx$$

Это откуда такой пример? Он же некорректен.

[Утундрий]

Ответ, предположим, нуль. Разжёвывать надо?

[TeraWATT]

Да, разжуйте, если не затруднит

[Утундрий]

Time-out.

[TeraWATT]

Munin в сообщении #809232 писал(а):

TeraWATT в сообщении #809204 писал(а):

Допустим, мне нужно посчитать

$$\int_{0}^{2} x\delta(\sin(\pi x)) dx$$

Это откуда такой пример? Он же некорректен.

пример из головы.
примеры из задачника:

$$\int\limits_{0}^{10} x\delta(\sin(\pi x/3)) dx$$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2\delta(\sin(4x^2-1)) dx$$

[Otta]

Ответьте, пожалуйста, на вопрос выше:

Vince Diesel в сообщении #809207 писал(а):

Каким образом определяется $\delta(f(x))$?

[Munin]

TeraWATT в сообщении #809264 писал(а):

примеры из задачника:

$$\int_{0}^{10} x\delta(\sin(\pi x/3)) dx$$

Ну заметьте, что $\sin(10\pi/3)$ всё-таки не нуль. Ваш пример был бы корректен, если бы пределы были $\int_{-0{,}1}^{2{,}1},$ или на худой конец, $\int_{0}^{2{,}1}.$
Бесконечность пишется \infty , а \inf - это инфимум.

[TeraWATT]

насколько я понимаю, как $\delta (f(x))=0 $,если $ f(x) \neq 0 $ и $\delta (f(x))= \infty $, если $f(x)=0$

[Munin]

Это "верно", но это не определение. Скажем, $2\delta(f(x))$ тоже имеет такие свойства.

[TeraWATT]

нашел другое: $ \int_{- \infty}^{ \infty} \delta (x-a) f(x)dx=f(a)$. Оно?

[Null]

Скопируйте уже сюда определение из учебника. Это вам надо.

Что то я там не нашел как считать такие интегралы в конечных пределах.

я предсказываю ответ: $\frac{0}{2}+1+\frac{2}{2}=2$

[Otta]

Null в сообщении #809285 писал(а):

Скопируйте уже сюда определение из учебника. Это вам надо.

Он скопировал. В учебнике такое определение функции $\delta(x-a)$, которое обычно записывают как $\langle\delta(x-a),f(x)\rangle =f(a)$, для всякой основной $f$.

Боюсь, эти интегралы вносят большую путаницу.

Определяется так же $\delta(ax+b)$. $\delta$ от других функций не определяется. Если $\delta(f(x))$ -- корявая запись того, что обычно обозначают $\langle\delta(x), f(x)\rangle$, то неясно, какая роль отводится интегралу от этого всего безобразия.

В принципе, в аргументе обобщенной функции ясно как делать монотонную замену.