Интегралы, содержащие дельта-функцию

[Null]

Цитата:

$$\delta(f(x))=\lim\limits_{\varepsilon\to +0}\omega_{\varepsilon}(f(x))$$

-предел береться в обобщенных функциях.

Цитата:

$$\delta(f(x))=\sum\limits_{f(z)=0}\frac{\delta(x-z)}{|f'(z)|}$$

-для функций с изолированными простыми нулями.

$$(\delta(x-x_0),\phi(x))=\phi(x_0)$$

Почему я должен это делать?

(Оффтоп)

Как эта буква для обобщенных функций в ТЕХе пишеться?

[Otta]

Null

(Оффтоп)

Которая? для чего?

(2)

А Вы не делайте. Я уже давно сижу читаю, а ТС, мож, уже надобность отпала.
Но все равно спасибо, я нашла другие определения. Хотя и равносильные, понятно.

[Munin]

Otta в сообщении #809287 писал(а):

Боюсь, эти интегралы вносят большую путаницу.

Ну, если человек других обозначений не знает - не мучьте его.

-- 04.01.2014 00:46:42 --

(Оффтоп)

Null в сообщении #809292 писал(а):

Как эта буква для обобщенных функций в ТЕХе пишеться?

Какая буква?

[Otta]

Munin в сообщении #809315 писал(а):

Ну, если человек других обозначений не знает - не мучьте его.

Munin, да я не для него. Я пытаюсь внести ясность - и себе в том числе. Интеграл я посчитала - как интеграл Стилтьеса, без аппарата обобщенных функций фактически. Только у меня другой ответ.
$\frac 0\pi+\frac 2\pi +\frac 2\pi$.

-- 04.01.2014, 01:55 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #809315 писал(а):

Какая буква?

Судя по всему, $\varphi$.

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #809323 писал(а):

Интеграл я посчитала - как интеграл Стилтьеса

Дыжжь!!! А как дельта-функция интегрируется по Стилтьесу?

[Otta]

(Оффтоп)

А никак. Она - никак. Я развлекалась, пытаясь восстановить определение, которого не знала, из чисто формальных соображений, типа:

$$\int_{[0,2]}x\delta(\sin\pi x)dx=\int_{[0,2]}\frac x{\pi\cos \pi x}d\theta(\sin\pi x)dx=$$

=значение функции $\frac x{\pi\cos \pi x}$ в нуле на скачок функции Хевисайда (1)+ значение в 1 на скачок (-2)+ значение в 2 на скачок (1).

Конечно, это чистой воды самодеятельность, поскольку берется за само собой разумеющееся правило дифференцирования, верное для композиции обычных функций, а оно здесь не прокатывает. См. ниже.

[zvm]

Otta в сообщении #809323 писал(а):

Только у меня другой ответ.
$\frac 0\pi+\frac 2\pi +\frac 2\pi$.

А почему не $\frac 0\pi+\frac 1\pi +\frac 2\pi$?

[Otta]

zvm в сообщении #809346 писал(а):

Otta в сообщении #809323 писал(а):

Только у меня другой ответ.
$\frac 0\pi+\frac 2\pi +\frac 2\pi$.

А почему не $\frac 0\pi+\frac 1\pi +\frac 2\pi$?

Один, один. :)
Все верно.

Я же честно созналась, что так не надо делать. Потому что производная функции Хевисайда
$(\theta(\sin x))'$ не равна $ \delta(\sin x)\cdot \cos x$. А равна $2\delta(\sin x)\cdot \cos x$.

(Оффтоп)

Надо бы стереть этот пример от греха подальше, пока не научила никого плохому.

[Null]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #809315 писал(а):

Какая буква?

Как письменная русская заглавная "Д".

У меня в этой задаче вопрос: Как считать интеграл если особая точка $\delta$-функции на конце интервала?

[Vince Diesel]

(Оффтоп)

Null в сообщении #809368 писал(а):

Как письменная русская заглавная "Д".

Обычно используют каллиграфический шрифт — $\cal D$. А это $\mathscr{D}$ я нашел, нарисовав здесь.

Цитата:

У меня в этой задаче вопрос: Как считать интеграл если особая точка $\delta$-функции на конце интервала?

Дельта функция действует на непрерывных функциях. А если ее аргумент обращается в ноль на конце интервала, то это все равно, что пытаться определить ее на разрывной функции — ступеньке. Как уже сказал Munin, это, вообще говоря, некорректно. Если понимать дельта-функцию как предел дельтообразных последовательностей, то результат зависит от выбора такой последовательности. Например, если брать четные функции, то на ступеньке получится $1/2\times$скачок. А если функции с носителем с одной стороны ступеньки, то $1\times$скачок или ноль. Можно волевым порядком сказать, что будем брать симметричный вариант, тогда надо брать половину значения функции на границе, оставляя половину интегралу по другую сторону.

[Null]

Вот и я об этом. Но наверно это в учебнике как-то формально зафиксировано.

[ewert]

А формально вообще-то обобщённые функции определяются на финитных (если речь об ограниченном множестве), так что как её ни определяй -- всяко ноль получится. Если же волевым порядком принять за её действие, например, значение на конце, то это уже не будет дельта-функцией, т.к. просто не будет обобщённой функцией; так, только смутное воспоминание о ней и останется.

[Null]

Ну а как же тогда $S'$?

[Munin]

(Оффтоп)

Null в сообщении #809368 писал(а):

Как письменная русская заглавная "Д".

Есть два "каллиграфических" шрифта, работающих только для заглавных букв. Отличаются они только стилистически. Раньше из-за типографских ограничений выбирать особо не приходилось, сейчас можно ради читаемости выбрать первый. Мнемоники: cal - "calligraphic", scr - "script":
\mathcal{} - $\mathcal{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
\mathscr{} - $\mathscr{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
Кроме того, есть отдельно буквы \ell $\ell$ и \wp $\wp.$

[Vince Diesel]

ewert в сообщении #809387 писал(а):

Если же волевым порядком принять за её действие, например, значение на конце, то это уже не будет дельта-функцией, т.к. просто не будет обобщённой функцией; так, только смутное воспоминание о ней и останется.

Почему же на конце. Определим дельта-функцию как предел дельтообразной последовательности четных функций. Тогда действие на непрерывных не поменяется, а на функциях, имеющих разрыв в нуле первого рода, действие будет равно полусумме значений справа и слева. А интегрирование по отрезку можно заменить интегрированием по прямой от функции, умноженной на ступеньку.