Разные простые вопросы по математике

[Nemiroff]

provincialka в сообщении #808812 писал(а):

Nemiroff надо думать, там умножение идет по модулю 6, так что $2\cdot 5 = 4$.

А дважды три тогда сколько? И почему дважды четыре равно двум?

[provincialka]

Nemiroff, да, прокол. По составному основанию это не группа. Пусть Munin сам говорит, что он имел в виду.

(Оффтоп)

Наверное, надо просто убрать по одному элементу: $(\{0,1,2,3\},+)$ изоморфно $(\{1,2,3,4\},\cdot)$

[Munin]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #808816 писал(а):

По составному основанию это не группа.

Обсчитался я? Что-то у меня в этот новый год всё наперекосяк :-) Извинитя.

[provincialka]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #808822 писал(а):

Что-то у меня в этот новый год всё наперекосяк Извинитя.

Будем считать, что праздник прошел хорошо! Поздравляю еще раз!

[Denis Russkih]

Munin в сообщении #808797 писал(а):

Тьфу! Забыл сказать существенную деталь: во множестве $\{0,1,2,3,4\},$ когда мы "доходим до края", мы начинаем по кругу опять сначала.

Это я уже и сам понял, в процессе гугленья. :) Но данная деталь мне никак не помогла.

Munin в сообщении #808797 писал(а):

А вы не гуглите. Вы подумайте

Интересно, как Вы себе это представляете? Предположим, Вы рассказали ученику про различные операции с дробями, но как записывать дроби — не показали. (Или наоборот, показали, как записывать дроби, но не объяснили, что это такое и что с ними делают.) И сразу предлагаете ему решить несложную задачку... То, что он изобразит, может Вас удивить. :)

provincialka в сообщении #808805 писал(а):

Denis Russkih, да ничего там сложного нет. Просто сопоставьте числам $x\in\mathbb R$ числа $y\in \mathbb R^+$ так, чтобы, когда иксы складываются, соответствующие игреки умножались. Не припомните такого правила в школьном учебнике? Это я про первое задание говорю.

Спасибо за попытку помочь, но я всё равно ничего не понял. :) Складываются с чем? Умножаются на что? Нет, такого правила я точно не помню. :) Возможно, мы читали разные учебники.

В голове после Вашего поста сложилось что-то такое:
$x+x+x + ... +x=y \cdot x$
Вроде всё как надо. Иксы складываются, а соответствующие игреки умножаются. И даже что-то школьное в этом есть. Только как это всё связано с группами, непонятно.

Munin в сообщении #808536 писал(а):

Упражнение: найдите, в какие элементы группы $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ должны быть переименованы такие элементы группы $(\mathbb{R},+)$: $0,1,2,-1,-3.$ Указание: ответ неоднозначен.

Учитывая предыдущую мою догадку, можно ответить, например, так:
- Элементу $0$ группы $(\mathbb{R},+)$ (в дальнейшем группа А) можно сопоставить любой элемент группы $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ (в дальнейшем группа Б). Ведь $0+0+0+ ... +0=y \cdot 0$ при любом $y$.
- Элементу $1$ группы А можно сопоставить любое целое число больше нуля, ведь $y$ должно быть сложено из просуммированных единичек.
- Элементу $2$ группы А можно сопоставить любое чётное число больше нуля, ведь $y$ в данном случае состоит из просуммированных двоек, т.е. кратно 2.
- Элементам $-1$ и $-3$ группы А совершенно непонятно, что можно сопоставить из группы Б. Ведь при сложении отрицательных чисел получаются другие отрицательные числа. И положительный коэффициент тут просто неоткуда взять. Разве что какие-нибудь мнимые числа задействовать? Но они уже не относятся к множеству действительных чисел. Опять фейл.

Получилась какая-то бредятина. Значит, я понял всё неправильно. :) Конечно, это лишь один из многих возможных вариантов толкования намёков. В голове толчётся ещё тысяча всяких предположений. Только все они столь же бредовы.

Истина состоит в том, что интуиция и логика никак не способны помочь мне понять, что от меня требуется. Это тупо вопрос соглашений, каких-то исторически сложившихся общепринятых правил, которые мне неизвестны. :)

Например, инопланетяне чисто при помощи логики никак не смогут догадаться о направлении тока в электрических схемах, изображённых представителями вида Homo sapiens, ведь реальные электроны летят совсем в другую сторону. :) Так и здесь.

Только вариантов направления тока всего два. А возможных вольных ассоциаций, предположений и умопостроений на тему теории групп — бесконечное множество. Пытаясь разгадать ваши коаны, можно создать целую альтернативную математику, состоящую из покорёженных велосипедов. :) И заодно постигнуть дзен... Ведь что такое хлопок одной ладонью? Это хлопок, изоморфный хлопку другой ладонью. :)

[provincialka]

Denis Russkih, мы дружно оффтопим в чужой теме. Может, откроете свою, про группы? Наверное, не только вам будет интересно. Или обратитесь к модераторам, пусть отделят ее отсюда.
Все-таки немного подскажу по первой задаче. Имеется в виду, что числа мы умеем складывать/вычитать. А еще можем умножать/делить, причем в последнем случае можем обойтись положительными числами. Так вот, можно так отобразить произвольные числа в положительные, что сумма прообразов перейдет в произведение образов. То есть "при сложении (...?) соответствующие (...?) перемножаются". Эта фраза вам ничего не напоминает?

[Denis Russkih]

provincialka

Согласен с Вами, это не дело — обсуждать такие вещи в чужой теме.

Я, конечно, предпочёл бы, чтобы мои посты и ответы на них были отделены в персональную тему, с названием типа "Любительские потуги постигнуть математику", или что-то в этом духе. :)

Но модераторы наверняка уже видели данный топик. Ведь другой пользователь приводил на него ссылку вот здесь, в разделе "Работа форума". :) И если тут до сих пор ничего никуда не отделено, значит, видимо, всем пофиг всех всё устраивает?

Думаете, надо проявить настойчивость и всё-таки добиться, чтобы на тему обратили внимание?..

provincialka в сообщении #808874 писал(а):

То есть "при сложении (...?) соответствующие (...?) перемножаются". Эта фраза вам ничего не напоминает?

Напоминает. Сложение дробей с разными знаменателями. :)

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}$

Только, опять же, при чём здесь группы?..

Ладно, видимо, это не для моих мозгов. Ну или я просто ещё "не дорос" до этого знания.

Спасибо всем за попытки хоть что-то мне объяснить. :)

Отдельное спасибо Munin, за то, что столько времени терпеливо со мной возился. А небольшие ошибки — это ничего, со всеми бывает. :) Со мной так вообще постоянно. В промежутках между крупными фейлами. :)

-- 03.01.2014, 03:50 --

Во, ещё при сложении показателей степени соответствующие числа перемножаются:

$x^{a+b} = x^a \cdot x^b$

Это то самое или нет? В любом случае, при чём здесь группы — я так и не понял. :)

[Xaositect]

Группы и изоморфизмы - это все совсем не сложно (на начальном уровне).

Магма - это множество штук, которые между собой можно комбинировать. То есть если есть у нас две штуки $a,b\in M$, то у нас обязательно есть штука $a\circ b\in M$.

Но в таком общем виде тут можно взять любую операцию, и получается штука черезчур общая - мало можно придумать свойств, которые применимы к любой магме. Поэтому рассматривают более частные объекты, когда операция имеет какие-то полезные свойства. Одно из таких полезных свойств - это ассоциативность $a\circ(b\circ c) = (a\circ b)\circ c$. Полезно оно тем, что когда у нас есть 3 или более элементов, мы можем вычислять их комбинацию в любом порядке - можно слева направо, можно справа налево, можно попарно а потом как хочется. Такие штуки, как $(a\circ (b\circ c))\circ d$, $a\circ (b\circ (c\circ d))$ и $(a\circ b)\circ (c\circ d)$ перестают быть различными, появляется полезная операция, комбинирующая сразу много элементов. Если еще добавить единицу, которая ничего не меняет $1\circ x = x\circ 1 = x$, то получится понятие моноида. То есть моноид - это множество штук, из которых можно составлять строки. Пустая строка - это $1$, а строка $abcdefg\dots z$ - это комбинация штук $a$, $b$, $c$,...$z$.
Вот, например, натуральные числа (с нулем), которые можно складывать - это моноид. Потому что натуральные числа - это строки из палочек. И натуральные числа без нуля, которые можно умножать - это тоже моноид. Потому что каждое натуральное число - это произведение простых. Тут есть еще дополнительное свойство, что строки $ab$ и $ba$ всегда равны, но вообще говоря это может быть не так.

Группы - это когда есть еще одно полезное свойство: у любого элемента $x$ есть обратный - такой, что $x\circ x^{-1} = x^{-1}\circ x = 1$. Например, если наши штуки - это функции на каком-то множестве, а строки - это последовательное применение функций, то существование обратного - это значит, что вычисление любой функции можно отменить. Например, можно рассмотреть все повороты куба, которые оставляют его на месте. Результат любого такого поворота всегда можно повернуть обратно. Или можно ввести отрицательные числа - были у нас строки из палочек, а теперь будут строки из палочек и антипалочек, которые стирают палочки. Получится группа целых чисел по сложению. Или например, мы возьмем натуральные числа, но считать будем по модулю 5. То есть 5 палочек будут равны пустой строке. Тогда, чтобы стереть палочку, надо добавить еще 4. А могут быть не все палочки одинаковые, например, у нас строки из букв $a$ и $b$, и для каждой из этих букв есть своя стирающая буква $a^{-1}$ и $b^{-1}$. Тут у нас получается, например, $abb^{-1}a = aa$. А вот $abab^{-1}$ уже так не упростишь, если нет никаких дополнительных условий.

Теперь про изоморфизмы. Вот я везде писал "штуки", потому что на самом деле неважно, что за штуки эти натуральные и целые числа. Важно, какими свойствами обладает операция в них. Вот я люблю, когда натуральные числа из палочек. А нормальные люди цифрами пишут. А в теории множеств их вообще из пустоты строят. Как понять, что это те же самые натуральные числа? Да очень просто - Я говорю, что числу $\overline{a_n\dots a_0}$ будет соответствовать строка из $a_n 10^n + \dots + a_0$ палочек. И по каждой строке из палочек можно обратно получить цифры - превратить палочки в единицы и сложить столбиком. Эти две процедуры одной последовательности цифр ставят в соответствие одну строку из палочек, и наоборот. Но самое важное, если я буду складывать палочки, а нормальный человек будет складывать столбиком, то в результате тоже получатся соответствующие друг другу результаты. Это значит, что неважно, какими именно штуками мы считаем - это все равно натуральные числа. Вот такое соответствие между двумя записями одного и того же называется изоморфизм. Еще пример: можно складывать по модулю 4 - получится группа из 4 штук $0,1,2,3$ с операцией сложения. А еще есть группа из штук $1,2,3,4$ с операцией умножения по модулю 5. Но поскольку у нас во второй группе $2^0 = 1$, $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 3$, $2^4 = 1$ и так далее, это на самом деле изоморфные группы.

А еще группа может быть изоморфна самой себе. Любая группа изоморфна самой себе, если мы просто поставим в соответствие $x$ и $x$, но это скучно. Бывают нетривиальные (не скучные, ну или не совсем скучные) изоморфизмы, например, в $0,1,2,3$ со сложением по модулю 4 можно поменять 1 и 3. Или взять повороты куба и рассматривать их в зеркале. Ну и т.п.

[Deggial]

Подтема выделена из темы Верите ли вы в путешествие во времени?, тег оффтопа убран, часть сообщений Denis Russkih разделена на 2 части - здесь вопросы по математике, а в старой теме - восторги о физике (надеюсь, что он не обидится). Оставляю новую тему здесь, так как до раздела ПРР не дотягивает. Если название темы ТС не устраивает - просьба писать ЛС.

[provincialka]

Спасибо модератору, теперь можно высказываться свободнее.
Denis Russkih, знаете такое свойство: "если степени перемножаются, их показатели складываются"?

[Munin]

Ладно, не получилось, так не получилось. Зайдём с другого конца. Представим себе множество $\{\mathrm{True},\mathrm{False}\}$ с операцией $\mathrm{OR}.$ Эта операция даёт результат из того же множества. Мы можем записать "таблицу умножения" (таблицу Кэли) для этой операции:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\mathrm{True}&\mathrm{False}\\\hline\mathrm{True}&\mathrm{True}&\mathrm{True}\\\hline\mathrm{False}&\mathrm{True}&\mathrm{False}\\\hline\end{array}$$

И представим себе множество $\{0,1\}$ с обычной операцией умножения $\cdot.$ Таблица умножения:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&0&1\\\hline 0&0&0\\\hline 1&0&1\\\hline\end{array}$$

Если вы приглядитесь к структуре этих двух таблиц, то увидите, что она одинакова, если представить себе такой "перевод":

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline\text{первое множество}&\mathrm{True}&\mathrm{False}\\\hline\text{второе множество}&0&1\\\hline\end{array}$$

Это и называется изоморфизм. Более того, первое множество можно сопоставить самому себе - тому же множеству $\{\mathrm{True},\mathrm{False}\},$ но уже с другой операцией $\mathrm{AND}.$ Таблица этой новой операции такая:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\mathrm{True}&\mathrm{False}\\\hline\mathrm{True}&\mathrm{True}&\mathrm{False}\\\hline\mathrm{False}&\mathrm{False}&\mathrm{False}\\\hline\end{array}$$

Теперь мы можем использовать такой "перевод":

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline\text{множество с операцией }\mathrm{OR}&\mathrm{True}&\mathrm{False}\\\hline\text{множество с операцией }\mathrm{AND}&\mathrm{False}&\mathrm{True}\\\hline\end{array}$$

Заметьте, что теперь приходится не только переименовывать элементы "таблицы умножения", но и переставлять местами её строки и столбцы. Но после такой перестановки структура остаётся такая же.

В случае бесконечного множества, например, $\mathbb{N}$ или $\mathbb{R},$ мы, конечно, не можем выписать всю "таблицу умножения" явно (и даже в случае просто большого множества не можем - триллион на триллион хотя бы - ни на какую бумагу не поместится). Но идея остаётся та же самая, и такую "таблицу умножения" можно представлять мысленно, и её "переименования" и "перестановки строк и столбцов" - тоже. То, что не получается выписать таблицами, можно описать словами или формулами.

[Denis Russkih]

Класс, от всей души благодарю Deggial за проделанную работу. Разделение тем произведено виртуозно. :)


Xaositect, Munin, огромнейшее вам спасибо! Кажется, картина начинает чуть-чуть проясняться... (Правда, лишь самую чуточку.)

Xaositect в сообщении #808975 писал(а):

Еще пример: можно складывать по модулю 4 - получится группа из 4 штук $0,1,2,3$ с операцией сложения. А еще есть группа из штук $1,2,3,4$ с операцией умножения по модулю 5. Но поскольку у нас во второй группе $2^0 = 1$, $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 3$, $2^4 = 1$ и так далее, это на самом деле изоморфные группы.

В упор не понимаю, почему из этого следует, что они изоморфные группы. Поэтому попробую через таблицы разобраться.

Итак, предположим, у нас есть некие множества (надеюсь, запись в таком виде допустима):

$A = (\{0,1,2,3\},+)$

$B = (\{1,2,3,4\},\cdot)$

Тогда получаем для них такие таблицы Кэли:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{A} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} \\ \hline \mathbf{0} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 0 \\ \hline \mathbf{2} & 2 & 3 & 0 & 1 \\ \hline \mathbf{3} & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{B} & \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} \\ \hline \mathbf{1} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathbf{2} & 2 & 4 & 1 & 3 \\ \hline \mathbf{3} & 3 & 1 & 4 & 2 \\ \hline \mathbf{4} & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$

Мне долго выносило мозг, почему в первом случае мы складываем по модулю 4, а во втором — умножаем по модулю 5. Почему модули разные, если количество элементов одинаковое? Но сейчас я вроде бы понял. Во втором случае дополнительную единичку даёт нулевой столбец, оставшийся "за кадром". :) Хотя всё равно странно. Как может число, не являющееся элементом множества, оказывать хоть какое-то влияние на него?.. Ну да ладно.

Теперь остаётся только разобраться, каким образом одна таблица изоморфна другой. :) На вид они очень сильно различаются.

По идее, ответом должна стать вот такая таблица:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{A} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \mathbf{B} & & & & \\ \hline \end{array}$

И там для $B$ нужно вписать значения, соответствующие значениям $A$. То есть, я наконец понял хотя бы то, как в целом должен выглядеть этот изоморфизм в итоге. :) На этом мои успехи заканчиваются.

Если тупо подбирать наугад, то имеем 24 возможных варианта. :) Но что-то подсказывает мне, что это не тот путь, который нужен. А правильного пути я не знаю.

Пробовал даже по-всякому менять местами разные строки и столбцы в каждой из таблиц Кэли для $A$ и $B$, чтобы придать таблицам какое-то сходство друг с другом... Но что-то всё никак не выходит каменный цветок. :) Не получается нужного соответствия. Вероятно, тут опять-таки необходима какая-то методика, которая мне неизвестна. Или я попросту составил таблицы неправильно?

provincialka в сообщении #808985 писал(а):

Denis Russkih, знаете такое свойство: "если степени перемножаются, их показатели складываются"?

Знаю, и даже сам вчера дописал в своём посте:

Denis Russkih в сообщении #808974 писал(а):

Во, ещё при сложении показателей степени соответствующие числа перемножаются:

$x^{a+b} = x^a \cdot x^b$

Это то самое или нет? В любом случае, при чём здесь группы — я так и не понял. :)

Но я и сегодня не понимаю, при чём тут группы, элементы групп, и как это может помочь установить соответствие между ними.

В приведённой выше формуле $x^{a+b} = x^a \cdot x^b$ задействованы три числа: $x, a, b$. Ну а мне ведь нужно установить связь между двумя конкретными числами из разных наборов. И как же известное со школы правило может тут помочь? Это выше моего понимания. :)

На всякий случай выпишем различные варианты для умножения:

$\begin{array}{ccccc} 1^0 = 1 & 1^1 = 1 & 1^2 = 1 & 1^3 = 1 & 1^4 = 1 \\ 2^0 = 1 & 2^1 = 2 & 2^2 = 4 & 2^3 = 3 & 2^4 = 1 \\ 3^0 = 1 & 3^1 = 3 & 3^2 = 4 & 3^3 = 2 & 3^4 = 1 \\ 4^0 = 1 & 4^1 = 4 & 4^2 = 1 & 4^3 = 4 & 4^4 = 1 \\ \end{array}$

По идее, где-то здесь зарыта Истина. :) Но я не могу уловить никакой закономерности. (Возможно, всё дело в том, что я просто не знаю, куда смотреть.)

Хорошо, положим, ноль здесь встречается только в одном столбце, и всюду он "сцеплен" с единицей. Можно предположить, что нулю из $(\{0,1,2,3\},+)$ соответствует единица из $(\{1,2,3,4\},\cdot)$. Но как же тогда быть с другими числами?.. Выбирать методом демократического голосования? :)

[Xaositect]

Denis Russkih в сообщении #809158 писал(а):

По идее, где-то здесь зарыта Истина. :) Но я не могу уловить никакой закономерности. (Возможно, всё дело в том, что я просто не знаю, куда смотреть.)

Ну смотрите. Любой элемент $\{0,1,2,3\}$ - это сумма единиц, причем сумма четырех единиц равна $0$, то есть пустой сумме. Любой элемент $\{1,2,3,4\}$ - это произведение ..., причем произведение четырех ... равно ...

[provincialka]

Про сумму и произведение. На $x$ не обращайте внимания, считайте константой. Функция - $y=2^x$. Можно считать, что $x\in \mathbb R$ - элемент аддитивной группы, тогда $y\in\mathbb R^+$ - элемент мультипликативной группы.

-- 03.01.2014, 19:36 --

Про группы четвертого порядка. Поставьте в свою табличку $2$ в клетку под $1$. Что надо в этом случае подставить в другие клетки? Это решение не единственное.

-- 03.01.2014, 19:46 --

Denis Russkih в сообщении #809158 писал(а):

$\begin{array}{ccccc} 1^0 = 1 & 1^1 = 1 & 1^2 = 1 & 1^3 = 1 & 1^4 = 1 \\ 2^0 = 1 & 2^1 = 2 & 2^2 = 4 & 2^3 = 3 & 2^4 = 1 \\ 3^0 = 1 & 3^1 = 3 & 3^2 = 4 & 3^3 = 2 & 3^4 = 1 \\ 4^0 = 1 & 4^1 = 4 & 4^2 = 1 & 4^3 = 4 & 4^4 = 1 \\ \end{array}$

Посмотрите, у вас во второй и третьей строчках присутствуют все элементы множества. А вот в первой и последней - не так. Получается, что все элементы группы можно получить как степени двойки (или тройки). А все элементы аддитивной группы $(0 1,2,3)$ - как суммы единиц. Значит, двойка играет в мультипликативной группе ту же роль, что единица в аддитивной.

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #809158 писал(а):

И там для $B$ нужно вписать значения, соответствующие значениям $A$. То есть, я наконец понял хотя бы то, как в целом должен выглядеть этот изоморфизм в итоге. :)

Ура :-)
А теперь попытайтесь добраться до ответа самостоятельно. Это даст вам незабываемые ощущения.

То, что пишут Xaositect и provincialka, закройте ладошкой.

Denis Russkih в сообщении #809158 писал(а):

Но я и сегодня не понимаю, при чём тут группы, элементы групп, и как это может помочь установить соответствие между ними.

Сначала разберитесь с другим упражнением.

Denis Russkih в сообщении #809158 писал(а):

Можно предположить, что нулю из $(\{0,1,2,3\},+)$ соответствует единица из $(\{1,2,3,4\},\cdot)$.

Правильно :-)

Denis Russkih в сообщении #809158 писал(а):

Но как же тогда быть с другими числами?.. Выбирать методом демократического голосования? :)

В конечном счёте, можете даже перебирать варианты. Их всего шесть.