Кривая второго порядка

[Otta]

Но таки знать Вам надо, что аффинная классификация не различает эллипса $x^2+2y^2=1$ и эллипса $x^2+y^2=1$. А то мало ли.

[svv]

А каноническое уравнение исходной кривой Вы собираетесь искать?

[Otta]

А оно стопудов надо относительно ортогональных преобразований. (Хотя нам когда-то рассказывали обе классификации и, помнится, я все удивлялась зачем дважды почти одно и то же, да еще столькими способами.)

[svv]

Так я ж и жду, когда будут ортогональные преобразования — поворот на тот угол, для которого уже и синус нашли.

[Limit79]

Otta
svv
То есть до конца я не дорешал?

[Otta]

Выходит, нет.

[Limit79]

svv в сообщении #807665 писал(а):

поворот на тот угол, для которого уже и синус нашли.

А где мы его нашли?

[svv]

В первом же сообщении Вы нашли. Подставьте
$x=\;\;\frac{2}{\sqrt 5}x'+\frac{1}{\sqrt 5}y'$
$y=-\frac{1}{\sqrt 5}x'+\frac{2}{\sqrt 5}y'$
в уравнение $9x^2-4xy+6y^2-10x-6y+25=0$. В новых переменных $x'y'$ уже не будет.

[svv]

Важный момент. Таким способом мы устраняем «неканоническое» слагаемое $xy$ более честно.
В таких задачах предполагается, что исходная кривая задана в декартовых координатах, в которых расстояние между двумя точками $A$ и $B$
$d(A, B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
В таком случае преобразование координат
$x=x'\cos\varphi-y'\sin\varphi$
$y=x'\sin\varphi+y'\cos\varphi$
сохраняет вид метрики:
$d(A, B)=\sqrt{(x'_B-x'_A)^2+(y'_B-y'_A)^2}$
Оси $x'$ и $y'$ тоже декартовы и повернуты относительно осей $x, y$ на угол $\varphi$ против часовой стрелки.

В случае более общего аффинного преобразования (которое Вы применяли выше)
$x=c_{11}x'+c_{12}y'$
$y=c_{21}x'+c_{22}y'$
такого свойства в общем случае нет, и в новых координатах метрика имеет более сложный вид. Как следствие, мы по уравнению кривой $x'^2+4y'^2=1$ уже не можем сказать, окружность это или эллипс и какая полуось у него длиннее. Более того, полуоси этого эллипса даже и по осям не обязательно направлены.
Оно и неудивительно: координаты $x', y'$, полученные аффинным преобразованием, неортогональны, масштаб по каждой оси разный и не равен $1$.
А ведь каноническое уравнение находится как раз для того, чтобы можно было судить не только о типе, но и о форме кривой, о её метрических свойствах.

Это я рассказал чуть подробнее про то, на что Otta несколько раз намекала.

[Otta]

Спасибо.