Целые точки на кривой второго порядка

[Sank]

Помогите пожалуйста!
Мне нужно решение уравнения $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, где $x$ и $y$ неизвестные

Sank в сообщении #8077 писал(а):

Забыл сказать, что $x, y$ целые не отрицательные

[cepesh]

Легко. Это кривая второго порядка

[Sank]

А можно все решения найти если известны a, b, c, d, e, f и одно решение

[cepesh]

можно.
читай лекции по аналитической геометрии.

[Sank]

Я нашел только решение уравнения X^2-AY^2=C а общего вида не могу найти

[Sank]

Забыл сказать, что x, y целые не отрицательные

[LynxGAV]

Мне пришла в голову идея как-то.

Вот есть кривая второго порядка. Общее уравнение:
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
Это или гипербола, или парабола, или эллипс. Если гипербола или эллипс, у нее есть центр. Как получить уравнение центра? Можно, как это обычно делается, сделать сдвиг координат и пр... получить систему уравнений, но откуда она получается такая? Вот идея. Кривая разделяет две области, в одной из которых (если гипербола - она в двух кусках) $L(x,y)=a_{11}x^2+..... >0$, а в другой -- $L<0$. Тогда из соображений симметрии в центре у этой функции экстремум. Дифференцируем $L$ по $x$ и по $y$ -- получаем два уравнения для $x_0$ и $y_0$ -- координат центра. Это те уравнения, которые "некрасиво" получаются обычным способом. А у параболы эта система получается несовместна --> нет такой точки --> это парабола.

Sank, простите, толком ни слова по задаче. Посмотрите сначала учебник.

[Dan_Te]

У нас на лекциях уравнения центра именно так и давались (дифференцированием функционала). Правда, я что-то не помню, чтобы нам объясняли, откуда там дифференцирование. Может, я просто плохо слушал.

Кстати, если бы мы хотели честно доказать применимость этого метода, то с эллипсом, положим, действительно ясно, потому что функционал L внутри эллипса - непрерывная функция на компакте. А вот почему это для гиперболы проходит?

[Someone]

Sank писал(а):

Помогите пожалуйста!
Мне нужно решение уравнения ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0, где x и y неизвестные

Sank писал(а):

А можно все решения найти если известны a, b, c, d, e, f и одно решение

Sank писал(а):

Забыл сказать, что x, y целые не отрицательные

Насколько я понимаю, речь идёт о решении уравнения в целых числах. Я этим никогда не занимался, но, если известно одно рациональное решение $(x_0,y_0)$, то все рациональные решения можно найти, сделав подстановку $t=\frac{y-y_0}{x-x_0}$ (это, кстати, известно из теории кривых второго порядка). Тогда $x$ и $y$ рационально выражаются через $t$. И нужно не забыть про $t=\infty$, которое тоже даёт рациональное решение.

Может быть, кто-нибудь расскажет и про целые решения.

P.S. А задачу нужно формулировать сразу в точном виде. И тему указывать такую, чтобы сразу было понятно, о чём идёт речь.

[незваный гость]

Посмотрите обсуждение уравнения Пелла в Mathworld, может, поможет.