2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Целые точки на кривой второго порядка
Сообщение24.01.2006, 01:33 
Помогите пожалуйста!
Мне нужно решение уравнения $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, где $x$ и $y$ неизвестные

Sank в сообщении #8077 писал(а):
Забыл сказать, что $x, y$ целые не отрицательные

 
 
 
 
Сообщение24.01.2006, 01:38 
Аватара пользователя
Легко. Это кривая второго порядка :lol:

 
 
 
 
Сообщение24.01.2006, 01:42 
А можно все решения найти если известны a, b, c, d, e, f и одно решение

 
 
 
 
Сообщение24.01.2006, 01:45 
Аватара пользователя
можно.
читай лекции по аналитической геометрии.

 
 
 
 
Сообщение24.01.2006, 01:50 
Я нашел только решение уравнения X^2-AY^2=C а общего вида не могу найти

 
 
 
 
Сообщение24.01.2006, 02:24 
Забыл сказать, что x, y целые не отрицательные

 
 
 
 Может, это все и знают, а, может, неверно?
Сообщение24.01.2006, 02:51 
Мне пришла в голову идея как-то.

Вот есть кривая второго порядка. Общее уравнение:
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
Это или гипербола, или парабола, или эллипс. Если гипербола или эллипс, у нее есть центр. Как получить уравнение центра? Можно, как это обычно делается, сделать сдвиг координат и пр... получить систему уравнений, но откуда она получается такая? Вот идея. Кривая разделяет две области, в одной из которых (если гипербола - она в двух кусках) $L(x,y)=a_{11}x^2+..... >0$, а в другой -- $L<0$. Тогда из соображений симметрии в центре у этой функции экстремум. Дифференцируем $L$ по $x$ и по $y$ -- получаем два уравнения для $x_0$ и $y_0$ -- координат центра. Это те уравнения, которые "некрасиво" получаются обычным способом. А у параболы эта система получается несовместна --> нет такой точки --> это парабола.

Sank, простите, толком ни слова по задаче. Посмотрите сначала учебник.

 
 
 
 
Сообщение24.01.2006, 18:49 
У нас на лекциях уравнения центра именно так и давались (дифференцированием функционала). Правда, я что-то не помню, чтобы нам объясняли, откуда там дифференцирование. Может, я просто плохо слушал.

Кстати, если бы мы хотели честно доказать применимость этого метода, то с эллипсом, положим, действительно ясно, потому что функционал L внутри эллипса - непрерывная функция на компакте. А вот почему это для гиперболы проходит?

 
 
 
 Re: Уравнение кривой второго порядка
Сообщение24.01.2006, 19:43 
Аватара пользователя
Sank писал(а):
Помогите пожалуйста!
Мне нужно решение уравнения ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0, где x и y неизвестные


Sank писал(а):
А можно все решения найти если известны a, b, c, d, e, f и одно решение


Sank писал(а):
Забыл сказать, что x, y целые не отрицательные


Насколько я понимаю, речь идёт о решении уравнения в целых числах. Я этим никогда не занимался, но, если известно одно рациональное решение $(x_0,y_0)$, то все рациональные решения можно найти, сделав подстановку $t=\frac{y-y_0}{x-x_0}$ (это, кстати, известно из теории кривых второго порядка). Тогда $x$ и $y$ рационально выражаются через $t$. И нужно не забыть про $t=\infty$, которое тоже даёт рациональное решение.

Может быть, кто-нибудь расскажет и про целые решения.

P.S. А задачу нужно формулировать сразу в точном виде. И тему указывать такую, чтобы сразу было понятно, о чём идёт речь.

 
 
 
 
Сообщение24.01.2006, 22:42 
Аватара пользователя
:evil:
Посмотрите обсуждение уравнения Пелла в Mathworld, может, поможет.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group