Уравнение Гамильтона-Якоби

[exitone]

Помогите решить/разобраться.

Имеется уравнение
$(\nabla s)^2=1$,
$x\in R^3$
и начальные условия $s|_\Gamma=0$, где $\Gamma$ - двумерная поверхность в $R^3$.
Требуется решить уравнение, и понять где есть особенности.

Мое начало решения:

Иначе говоря, нам дано, что $H = |p|^2 - 1$, т.е.

$\dot{x} = 2p$
$\dot{p} = 0$

Начальные условия можно, судя по всему, записать в следующем виде: $x(0)=r(u,v)$,
и если, $r_1 = \frac{\partial r}{\partial u}, r_2 = \frac{\partial r}{\partial v}$, то $p(0)=n(u,v)=\frac{[r_1,r_2]}{|[r_1,r_2]|}$

Из гамильтоновой системы находится $x$: $x=2t n(u,v) + r(u,v) $

Решение уравнения следующее

$s = s_0 + \int\limits_0^t (p,\dot{x}) dt = \int\limits_0^t 2(n,n)dt = 2t $
---
Не знаю, как найти, где особенности
нужно как-то подвести под теореому о неявной функции ?
подскажите, пожалуйста .

[Oleg Zubelevich]

post538294.html#p538294

[exitone]

Oleg Zubelevich в сообщении #805948 писал(а):

http://dxdy.ru/post538294.html#p538294

Вы даете намек о задаче Коши немного более общего уравнения
Как же это может помочь в моем случае?

[Oleg Zubelevich]

Выразите $s_{x_1}$ или почитайте Арнольда "Дополнительные главы ОДУ

[exitone]

Если скалярно умножить равенство

$x=2t n(u,v) + r(u,v) $

на $n(u,v)$, то можно будет выразить время

$ t = \frac{(x,n(u,v))}{2} $

тогда $s(x) = (x,n(u,v)) = (x,p(0))$

но, как с этим работать не понятно

[exitone]

Еще немного продвинулся:

Пусть поверхность хорошая и на ней мы знаем первую и вторую квадратичные форму, которые соответственно будет обозначать $G$ и $B$. А их элементы $g_{ij}$ и $b_{ij}$, а для элементов обратных матриц соответственно $g^{ij}$ и $b^{ij}$.

Вектор нормали единчный, поэтому его производные $\frac{\partial n}{\partial u}$ и $\frac{\partial n}{\partial v}$ (для удобства $n_1$ и $n_2$ )перпендикулярны ему самому, а значит лежат в касательной плоскости и следовательно раскладываются по базису $r_1 = \frac{\partial r}{\partial u}, r_2 = \frac{\partial r}{\partial v}$ следующим образом

$n_i = \beta_{ij}r_j (*)$ (понимается сумма по $j$)

Выразим $\beta_{ij}$ через квадратичные формы поверхности:

Домножим $(*)$ на $r_k$, тогда

$(n_i,r_k) = \beta_{ij} (r_j,r_k) = \beta_{ij}g_{jk} $

С другой стороны, мы знаем, что $(n,r_k) = 0$, и если взять производную

$(n_i, r_k) + (n, r_{ik}) = 0 $ ( второе слагаемое по определению $b_{ik}$)

то получается, что

$-b_{ik} = \beta_{ij} g_{jk} $

откуда находим коэффициент $\beta_{ij}$

$\beta_{ij} = -b_{ik}g^{kj}$

Теперь, возвращаясь к самой задаче

$x=2t n(u,v) + r(u,v) = -2t b_{ik}g^{kj}r_j + r(u,v)$

По идее дальше нужно взять производную по еще какому-то индексу
и использовать теорему о неявной функции
пока еще до конца не осознал

[exitone]

exitone в сообщении #806674 писал(а):

Теперь, возвращаясь к самой задаче

$x=2t n(u,v) + r(u,v) = -2t b_{ik}g^{kj}r_j + r(u,v)$

...

Тут, конечно же, допущена ошибка

$x=2t n(u,v) + r(u,v) $, но следующее равенство неверно, потому что я выражал $n_i$ по базису, а не $n$

т.е. дифференцируя $x$ по $i$-ой переменной, получаем

$x_i = -2t b_{ik}g^{kj}r_{ji} + r_i$

условие $x_i = 0$ означает, что якобиан перехода вырождается, т.е. перестают выполнятся условия теоремы о неявной функции. Такие точки и есть особенности.

$2t b_{ik}g^{kj}r_{ji} = r_i$

Есть идеи как это можно упростить ?

[Oleg Zubelevich]

понятно, т.е. читать учебник вы не желаете из принципиальных соображений

[exitone]

К сожалению я не нашел ничего полезного в книжке Арнольда.

[Ales]

Функция $s$ - это расстояние от начальной поверхности Г.

Автор ввел новые координаты в трехмерном пространстве: $s, u, v$.
Старые координаты $x$ выражаются через новые координаты $x= s n(u,v) + r(u,v) $.
Нужно применять теорему об обратной функции.
Особенности это те точки, где якобиан $\det \frac{\partial x}{\partial s,u,v}$ будет равен нулю.

[exitone]

Ales в сообщении #807519 писал(а):

Функция $s$ - это расстояние от начальной поверхности Г.

У меня была проблема в интерпретации того, что действие $s$ просто равно $2t$. Премного благодарен за пояснение.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Это написано у Арнольда. Не все студенты способны читать учебники, некоторым нужно разжевывать и класть в рот

[exitone]

Oleg Zubelevich в сообщении #807533 писал(а):

(Оффтоп)

Это написано у Арнольда. Не все студенты способны читать учебники, некоторым нужно разжевывать и класть в рот

(Оффтоп)

Полностью Вас поддерживаю.

-- 29.12.2013, 14:34 --

(Оффтоп)

А по поводу книг Арнольда( Да и не только Арнольда, сюда же идут книги У. Рудина и многих других) могу сказать следующее: преступать к их чтению оправдано, после изучения соответсвующего курса или если ваш курс много где с ними пересекается.

И вообще на первом курсе малая часть студентов способна читать книги(тому виной школьное образование), но во много цель институтского образования приучить к этому. Хотя во многих случаях хватает и лекций.

-- 29.12.2013, 15:04 --

Oleg Zubelevich в сообщении #807533 писал(а):

(Оффтоп)

Не все студенты способны читать учебники, некоторым нужно разжевывать и класть в рот

(Оффтоп)

Не беспокойтесь, намек в мою сторону принят. Я надеюсь, что написание этого сообщения принесло Вам некоторое удовлетворение, иначе вы написали его зря