Уравнение Гамильтона-Якоби

[Oleg Zubelevich]

по многочисленным просьбам... последняя здесь: topic55058.html

Следующий текст является чисто формальным. Вопросы областей определения, гладкости, существования объектов и т.п. не рассматриваются. Дается только схема.

Вот только как в теге MATH компелировать два раза чтобы ссылки пропечатались я не знаю. Надеюсь модераторы откомпелируют и остальных научат.

Рассмотрим следующую задачу Коши \begin{equation}\label{zvtgbh} u_t=f(t,x,u,u_x),\quad u(0,x)=\hat u(x),\quad x=(x_1,\ldots,x_m)^T\in\mathbb{R}^m.\end{equation} Мы будем искать решение этой задачи $u=u(t,x)$. Через $p=u_x$ обозначим вектор-строку производных $u$. Построим характеристики для этой задачи: $$\dot p=u_{xt}+u_{xx}\dot x=u_{xx}\dot x+f_x+f_up+f_{p}u_{xx}$$ чтобы избавиться от вторых производных (эвристический аргумент), примем $\dot x=-f_p$. И $$ \dot u=u_t+u_x\dot x=f-pf_p.$$ Окончательно получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений характеристик) \begin{align} \dot x&=-f_p(t,x,u,p),\nonumber\\ \dot p&=f_x(t,x,u,p)+f_u(t,x,u,p)p,\label{asecr4}\\ \dot u&=f(t,x,u,p)-pf_p(t,x,u,p).\nonumber\end{align} Для этой системы зададим начальные условия: \begin{equation}\label{ecfvg} x(0)=\hat x,\quad u(0)=\hat u(\hat x),\quad p(0)=\hat u_x(\hat x).\end{equation} Тогда из системы (\ref{asecr4}) снабженной начальными условиями (\ref{ecfvg}) находим $$x=X(t,\hat x),\quad u=U(t,\hat x).$$ Разрешим первое уравнение относительно $\hat x$ получим $\hat x=\psi (t,x).$ Следующая теорема проверяется прямым вычислением + теорема существования и единственности для (\ref{asecr4}). {\bf Теорема. } Функция $u(t,x)= U(t,\psi(t,x))$ является решением задачи (\ref{zvtgbh}).\end{theorem} {\bf Теорема. } Пусть $w(t,x)$ -- решение уравнения (\ref{zvtgbh}). Многообразия $$G(w)=\{(x,p,u,t)\in\mathbb{R}^{2m+2}\mid p=w_x(t,x)\}$$ и $$F(w)=G(w)\bigcap\{(x,p,u,t)\in\mathbb{R}^{2m+2}\mid u=w(t,x)\}$$ являются инвариантными для (\ref{asecr4}). (Состоят из решений (\ref{asecr4}).) Доказательство: прямая проверка.