Мнимые числа (философия в математике)

[arseniiv]

Linkey в сообщении #805798 писал(а):

Учебники читать долго...

Если бы учебники можно было изложить кратко, это давно бы сделали. Вы думаете, если вам скажут в трёх словах про неведомую фигню, она вам станет понятной, если (скажем) везде ей уделают три страницы? Определение-то может быть и коротким, и создавать иллюзию понятности (например, из-за путания терминов с обычными словами), а вот использовать его для того, для чего оно появилось, и понять зачем, вы не сможете, и связать с остальным — тоже. Вскорости его образ в памяти от такого исказится, если вообще не пропадёт.

В случае более-менее простых вещей в учебнике может быть написано и немного, и там есть против ваших слов предметный указатель (а если нет, возьмите учебник получше). И совет о гугле тоже не забывайте.

[druggist]

Linkey в сообщении #805080 писал(а):

У нас в вузе был хороший преподаватель философии, все получали удовольствие от его лекций

Если преподаватель хороший, даже если просто преподаватель, он наверняка рассказывал о споре реалистов и номеналистов. Вообще, на любой философский вопрос есть по кр. мере две точки зрения, иначе это не философский вопрос.

[Linkey]

Stan Slapenarski в сообщении #805535 писал(а):

Например, немецкий математик Леопольд Кронекер сказал: «Целые числа сотворил Бог, а всё прочее – дело рук человеческих».

Мне эта идея нравится. Вот взять, например, игру "Жизнь". Это вселенная, в которой существуют только целые числа (строго говоря, "физически" существуют только 0 и 1, плюс законы "физики" оперируют другими целыми числами). Но если в этой вселенной проводить какие-то исследования, может потребоваться использование, например, дробей.

[Stan Slapenarski]

Lucis

(Оффтоп)

Цитата:

Но там ли на самом деле? Уж очень оно древнеегипетское понятие "ка" напоминает.

Упростил ситуацию, грешен, каюсь. Вот здесь современный философ платоник Олег Гуцуляк находит параллели с идеями во многих культурах, еще у шумеров.

[Linkey]

И ещё вопрос, который может пролить свет на тему "существует ли число $i$". Можно ли, например, решить кубическое уравнение стандартным способом, не используя мнимых чисел? Или эта задача всегда будет сложная, творческая, как до появления формулы Кардано?

[DimaM]

Linkey в сообщении #805916 писал(а):

Можно ли, например, решить кубическое уравнение стандартным способом, не используя мнимых чисел?

Ну попробуйте найти все корни, например, у такого

$$x^3-x^2+x-1=0,$$

не используя мнимых чисел.

[Stan Slapenarski]

Linkey в сообщении #805916 писал(а):

Можно ли, например, решить кубическое уравнение стандартным способом, не используя мнимых чисел? Или эта задача всегда будет сложная, творческая, как до появления формулы Кардано?

Тут ситуация еще хуже (см. «Курс высшей алгебры» Александра Геннадиевича Куроша). Рассмотрим, например, неполное кубическое уравнение $x^3+px+q=0$ с действительными коэффициентами. Если его дискриминант $D=-4p^3-27q^2$ больше нуля, то его корни являются действительными числами, однако разыскание их по формуле Кардано требует извлечения кубичных корней из комплексных чисел, что мы умеем делать лишь переходом к тригонометрической форме этих чисел. В этом случае запись корней с помощью радикалов теряет практическое значение. Более того, можно доказать, что корни этого уравнения вообще никаким способом не могут быть выражены через коэффициенты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями.

[arseniiv]

Невыразимость в каком-то виде и вообще неэлементарные функции — разговор особый. Linkey ничего про них не спрашивал, наверно, потому что ещё не знает.

[Urnwestek]

Linkey в сообщении #805916 писал(а):

И ещё вопрос, который может пролить свет на тему "существует ли число $i$".

А с вопросом warlock66613 «существует ли число 2» вы уже разобрались? (:

[iifat]

Подозреваю, с вашей подачи нас ждёт ещё один опрос.

[Linkey]

Stan Slapenarski в сообщении #805935 писал(а):

Более того, можно доказать, что корни этого уравнения вообще никаким способом не могут быть выражены через коэффициенты при помощи радикалов с действительными подкоренными выражениями.

Отсюда вывод: мнимые числа действительно существуют! Ура! Плюс к этому волновая функция, как известно, выражается комплексными числами, а любые фермионы построены с использованием единичных кватернионов. Значит, комплексные числа и кватернионы - объективная реальность!

[Urnwestek]

Очень милый вывод.
А вот система уравнений

$$ \begin{cases} x \neq 0\\ x^2 = 0\\ \end{cases} $$

не имеет решения ни в комплексных, ни в вещественных, ни даже в кватернионах. А в дуальных имеет. Отсюда какой вывод будет сделан? (:

[Stan Slapenarski]

Linkey писал(а):

Отсюда вывод: мнимые числа действительно существуют! Ура! Плюс к этому волновая функция, как известно, выражается комплексными числами, а любые фермионы построены с использованием единичных кватернионов. Значит, комплексные числа и кватернионы - объективная реальность!

И кто меня за язык тянул. Но если уж на то пошло, то тогда существует много чего, так как те же волновые функции, вроде, образуют бесконечномерное гильбертово пространство, а тот же Мультиверс соответствует математическому фазовому пространству состояний. Справедливости ради замечу, что математические формализмы для одной физической теории могут быть различными. Например, поведение тех же квантовомеханических систем вроде, можно описывать и рассчитывать как посредством волновых функций, так и посредством каких-то матриц. А то же тело кватернионов вроде изоморфно подтелу кольца действительных матриц четвертого порядка.

[arseniiv]

Linkey в сообщении #806035 писал(а):

Значит, комплексные числа и кватернионы - объективная реальность!

Значит, вы, радуясь, свалитесь в одну из дыр в своём построении. Комплексные числа описывают какие-то объекты какой-то модели. У любой модели есть границы применимости — это раз. Если объекты модели ещё есть смысл считать существующими, то их описания… — это два.

О существовании математических объектов, по-моему, если говорить, то правильнее всего о своём для каждой рассматриваемой теории — в математическом смысле, которая с аксиомами, правилами вывода и всем таким. Тогда в одной теории одно есть, а другого нет, а в другой оба. Но вы тогда пойдёте про теории спрашивать. А тут без учебника (который вам лень), водя руками в воздухе, лучше ничего не делать — ерунда получится точно.

[Linkey]

Stan Slapenarski в сообщении #806077 писал(а):

Например, поведение тех же квантовомеханических систем вроде, можно описывать и рассчитывать как посредством волновых функций, так и посредством каких-то матриц. А то же тело кватернионов вроде изоморфно подтелу кольца действительных матриц четвертого порядка.

Это имхо довольно важный момент, надеюсь что кто-нибудь даст комментарий. Возможно ли квантовомеханическую систему, систему в теории струн, систему в ОТО полностью описать без использования мнимых чисел?