Упрощение тригонометрических формул

[amoral10]

Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, с какой стороны взяться за этот школьный пример:
$\sin(\frac{3\pi}{14})-\sin(\frac{\pi}{14})-\sin(\frac{5\pi}{14})=...$
попробовал простые формулы сложения, но ничего хорошего не вышло. Использование формул тройного угла -- ничего хорошего тоже. Какой трюк здесь нужен?

[Otta]

amoral10 в сообщении #804610 писал(а):

попробовал простые формулы сложения, но ничего хорошего не вышло.

Да бросьте, недостаточно упорно пробовали.

[SpBTimes]

К последним двум слагаемым не пробовали применить?

[amoral10]

применяя к последним двум, получаем:
$...=\sin(\frac{3\pi}{14})(1-2\cos(\frac{2\pi}{14}))$

[nnosipov]

amoral10 в сообщении #804610 писал(а):

Какой трюк здесь нужен?

Да никакой. Здесь есть алгоритм, ничего сложного. Но алгоритм, правда, не совсем школьный.

[amoral10]

nnosipov в сообщении #804624 писал(а):

amoral10 в сообщении #804610 писал(а):

Какой трюк здесь нужен?

Да никакой. Здесь есть алгоритм, ничего сложного. Но алгоритм, правда, не совсем школьный.

Но задание из сборника для подготовке к ЕГЭ! А в чем суть алгоритма?

[nnosipov]

amoral10 в сообщении #804626 писал(а):

А в чем суть алгоритма?

Вычисления в так называемых круговых полях. Это не означает, что нет школьного способа решения. Только этот школьный способ будет искусственным.

Ответ, кстати, $1/2$ (или $-1/2$, если данное выражение с синусами отрицательно).

[amoral10]

nnosipov в сообщении #804631 писал(а):

Ответ, кстати, $1/2$ (или $-1/2$, если данное выражение с синусами отрицательно).

Ответ я знаю! В Maple, например, могу посмотреть . Но вот способ решения в пределах школьных знаний - это как раз меня и интересует.

[nnosipov]

amoral10 в сообщении #804633 писал(а):

Но вот способ решения в пределах школьных знаний - это как раз меня и интересует.

Ну, тогда Вам нужно заниматься трюкачеством --- жонглировать разными тригонометрическими формулами. И рассчитывать на удачу.

[provincialka]

Обозначим $\alpha=\frac\pi{14}$. Чем характерен этот угол? Тем, что $7\alpha =\frac\pi2$ откуда, в частности, $\sin 7\alpha =1$.
Предлагаю добавить эту единицу к исходной сумме и искать величину $s+1=-\sin\alpha+\sin3\alpha-\sin5\alpha+\sin7\alpha$
Есть общий прием суммирования таких "равноотстоящих" синусов. Надо это равенство кое на что помножить.

-- 22.12.2013, 16:57 --

Поискала этот метод в "школьных" справочниках, не нашла. Неужели его приберегают для студентов, для темы "Ряды Фурье"? Можете посмотреть, например, Ядро Дирихле, там что-то похожее (только у вас знаки чередуются и 1/2 в начале нет)

[svv]

На рисунке изображен правильный семиугольник со стороной 1. Сторонам сопоставлены векторы.
Вектор $a_0$ имеет (полярный) угол $\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{14}$.
Вектор $a_1$ имеет угол $\frac{3\pi}{14}$.
Вектор $a_2$ имеет угол $-\frac{\pi}{14}$.
Вектор $a_3$ имеет угол $-\frac{5\pi}{14}$.

Обозначим проекцию вектора $a_i$ на ось $y$ через $y_i$. Тогда искомая сумма
$s=y_1+y_2+y_3=\sin\frac{3\pi}{14}+\sin(-\frac{\pi}{14})+\sin(-\frac{5\pi}{14})$

В силу симметрии $y_4=y_3, y_5=y_2, y_6=y_1$. А сумма $y$-проекций всех векторов равна нулю, поэтому
$0=y_0+(y_1+y_2+y_3)+(y_4+y_5+y_6)=1+s+s$