2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 13:58 
Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, с какой стороны взяться за этот школьный пример:
$\sin(\frac{3\pi}{14})-\sin(\frac{\pi}{14})-\sin(\frac{5\pi}{14})=...$
попробовал простые формулы сложения, но ничего хорошего не вышло. Использование формул тройного угла -- ничего хорошего тоже. Какой трюк здесь нужен?

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 14:01 
amoral10 в сообщении #804610 писал(а):
попробовал простые формулы сложения, но ничего хорошего не вышло.

Да бросьте, недостаточно упорно пробовали. :wink:

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 14:03 
Аватара пользователя
К последним двум слагаемым не пробовали применить?

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 14:18 
применяя к последним двум, получаем:
$...=\sin(\frac{3\pi}{14})(1-2\cos(\frac{2\pi}{14}))$

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 14:23 
amoral10 в сообщении #804610 писал(а):
Какой трюк здесь нужен?
Да никакой. Здесь есть алгоритм, ничего сложного. Но алгоритм, правда, не совсем школьный.

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 14:28 
nnosipov в сообщении #804624 писал(а):
amoral10 в сообщении #804610 писал(а):
Какой трюк здесь нужен?
Да никакой. Здесь есть алгоритм, ничего сложного. Но алгоритм, правда, не совсем школьный.


Но задание из сборника для подготовке к ЕГЭ! А в чем суть алгоритма?

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 14:32 
amoral10 в сообщении #804626 писал(а):
А в чем суть алгоритма?
Вычисления в так называемых круговых полях. Это не означает, что нет школьного способа решения. Только этот школьный способ будет искусственным.

Ответ, кстати, $1/2$ (или $-1/2$, если данное выражение с синусами отрицательно).

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 14:37 
nnosipov в сообщении #804631 писал(а):
Ответ, кстати, $1/2$ (или $-1/2$, если данное выражение с синусами отрицательно).


Ответ я знаю! В Maple, например, могу посмотреть :-). Но вот способ решения в пределах школьных знаний - это как раз меня и интересует.

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 14:42 
amoral10 в сообщении #804633 писал(а):
Но вот способ решения в пределах школьных знаний - это как раз меня и интересует.
Ну, тогда Вам нужно заниматься трюкачеством --- жонглировать разными тригонометрическими формулами. И рассчитывать на удачу.

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 15:48 
Аватара пользователя
Обозначим $\alpha=\frac\pi{14}$. Чем характерен этот угол? Тем, что $7\alpha =\frac\pi2$ откуда, в частности, $\sin 7\alpha =1$.
Предлагаю добавить эту единицу к исходной сумме и искать величину $s+1=-\sin\alpha+\sin3\alpha-\sin5\alpha+\sin7\alpha$
Есть общий прием суммирования таких "равноотстоящих" синусов. Надо это равенство кое на что помножить.

-- 22.12.2013, 16:57 --

Поискала этот метод в "школьных" справочниках, не нашла. Неужели его приберегают для студентов, для темы "Ряды Фурье"? Можете посмотреть, например, Ядро Дирихле, там что-то похожее (только у вас знаки чередуются и 1/2 в начале нет)

 
 
 
 Re: Упрощение тригонометрических формул
Сообщение22.12.2013, 17:38 
Аватара пользователя
Изображение
На рисунке изображен правильный семиугольник со стороной 1. Сторонам сопоставлены векторы.
Вектор $a_0$ имеет (полярный) угол $\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{14}$.
Вектор $a_1$ имеет угол $\frac{3\pi}{14}$.
Вектор $a_2$ имеет угол $-\frac{\pi}{14}$.
Вектор $a_3$ имеет угол $-\frac{5\pi}{14}$.

Обозначим проекцию вектора $a_i$ на ось $y$ через $y_i$. Тогда искомая сумма
$s=y_1+y_2+y_3=\sin\frac{3\pi}{14}+\sin(-\frac{\pi}{14})+\sin(-\frac{5\pi}{14})$

В силу симметрии $y_4=y_3, y_5=y_2, y_6=y_1$. А сумма $y$-проекций всех векторов равна нулю, поэтому
$0=y_0+(y_1+y_2+y_3)+(y_4+y_5+y_6)=1+s+s$

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group