Уравнения для излучаемого поля

[VladimirKalitvianski]

Все мы знаем уравнения Максвелла с заданными источниками. Меня интересует одиночный точечный заряд, движущийся в ограниченном пространстве и излучающий вдаль электромагнитное поле. Решение уравнений Максвелла состоит из "ближнего" поля и поля, улетающего на бесконечность:

$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=e\frac{1-v^2/c^2}{\left(R-\frac{\mathbf{v}\mathbf{R}}{c}\right)^3}\left(\mathbf{R}-\frac{\mathbf{v}}{c}R\right)+\frac{e}{c^2\left(R-\frac{\mathbf{v}\mathbf{R}}{c}\right)^3}\mathbf{R}\times\left[\left(\mathbf{R}-\frac{\mathbf{v}}{c}R\right)\times\dot{\mathbf{v}}\right],\, \dot{\mathbf{v}}=\partial \mathbf{v} /\partial t'$

$\mathbf{H}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{R(t')}\left[ \mathbf{R}(t')\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t(t')) \right]$

Все выражения в правых частях берутся в прошлый момент времени $t'=t-\frac{R(t')}{c}$.

Быстро убывающая часть электромагнитного поля есть ближнее поле (первое слагаемое в выражении для электрического поля). Обозначим его $\mathbf{E}_1$. Оставшаяся часть спадает медленнее и зависит от ускорения заряда, обозначим ее $\mathbf{E}_2$, и аналогично для магнитного поля. Так вот, меня интересует, как вывести уравнения для $\mathbf{E}_2$ и $\mathbf{H}_2$. Может, они уже где-то выведены, но мне не попадались. Можно ли слагаемые источников разбить на пару слагаемых, одно из которых даст ближнее, а другое улетающее поля? Как вы думаете?

[DimaM]

В ЛЛ2, п. 63 написано, что нужно продифференцировать потенциалы Лиенара-Вихерта и даны указания, как это правильно сделать. Видели?

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #804130 писал(а):

В ЛЛ2, п. 63 написано, что нужно продифференцировать потенциалы Лиенара-Вихерта и даны указания, как это правильно сделать. Видели?

Возможно, видел.

Наверное, я плохо сформулировал вопрос. Меня интересуют дифференциальные уравнения типа Максвелла, но только для поля излучения, а не для всего поля.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #804146 писал(а):

Наверное, я плохо сформулировал вопрос. Меня интересуют дифференциальные уравнения типа Максвелла, но только для поля излучения, а не для всего поля.

А это и будут уравнения Максвелла, только без источников.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #804165 писал(а):

А это и будут уравнения Максвелла, только без источников.

Я не уверен. Мы можем в УМ перенести все члены с $\mathbf{E}_1$ в правую часть и не факт, что они полностью скомпенсируют источник.

Чтобы использовать решения свободных уравнений Максвелла в качестве излученного поля (улетающего вдаль), нужно уйти от источника далеко-далеко и использовать граничные условия на удаленной поверхности типа $\mathbf{E}=\mathbf{E}_1$, а это не то, что я хочу. Мне нужны уравнения во всем пространстве.

Я не прошу никого их выводить, но, может, кто-то уже видел такие уравнения и может дать ссылку?

[warlock66613]

VladimirKalitvianski в сообщении #804226 писал(а):

нужно уйти от источника далеко-далеко и использовать граничные условия на удаленной поверхности типа $\mathbf{E}=\mathbf{E}_1$

Нет, не обязательно. Благодяря линейности уравнений достаточно вырезать в пространстве-времени малую область около мировой линии заряда-источника и задать граничные условия на поверхности, окружающей вырезанную область: $\mathbf{E}=\mathbf{E}_2$.

[VladimirKalitvianski]

warlock66613 в сообщении #804229 писал(а):

Нет, не обязательно.

Вы правы, если есть аналитическое решение $\mathbf{E}_2$, то глупо решать еще раз УМ и использовать готовое решение чтобы его же найти. Поэтому я хочу иметь только уравнение.

[warlock66613]

VladimirKalitvianski в сообщении #804239 писал(а):

Поэтому я хочу иметь только уравнение.

Я не думаю, что здесь может быть другое уравнение, кроме уже предложенного: уравнений Масвелла без источников. И подчеркну ещё раз: оно справедливо не только вдали от заряда, но и рядом с ним.

[Munin]

Munin в сообщении #804165 писал(а):

А это и будут уравнения Максвелла, только без источников.

Я был неправ.

[npduel]

warlock66613 в сообщении #804248 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #804239 писал(а):

Поэтому я хочу иметь только уравнение.

Я не думаю, что здесь может быть другое уравнение, кроме уже предложенного: уравнений Масвелла без источников. И подчеркну ещё раз: оно справедливо не только вдали от заряда, но и рядом с ним.

Он хочет невозможного, т.е. уравнений, которые описывают только волны. Ему, действительно, нужны однородные уравнения Максвелла, но ему нужно понять, что эти же уравнения описывают электромагнитное поле и в ближней, и в дальней зоне. Разница между полем и волнами определяется не уравнениями, а вектором Пойнтинга.

[Munin]

С другой стороны, не факт, что они вообще подчиняются какому-то дифференциальному уравнению. Может быть, только интегральному (интегро-дифференциальному).

-- 21.12.2013 18:22:23 --

npduel в сообщении #804266 писал(а):

Разница между полем и волнами определяется не уравнениями, а вектором Пойнтинга.

Разницы между полем и волнами вообще нет: волны - частный случай поля.

[warlock66613]

Munin в сообщении #804265 писал(а):

Я был неправ.

npduel в сообщении #804266 писал(а):

эти же уравнения описывают электромагнитное поле и в ближней, и в дальней зоне

Да, я тоже ступил.

[VladimirKalitvianski]

warlock66613 в сообщении #804248 писал(а):

Я не думаю, что здесь может быть другое уравнение, кроме уже предложенного: уравнений Максвелла без источников.

Но поскольку источники реально есть, то УМ без источников требует для своего однозначного определения граничные условия. Если мы в граничных условия будем использовать полное поле, то полное поле и получим вне этой поверхности, разве что на бесконечно удаленной поверхности оно выродится в поле излучения (про это я и писал). Если мы используем решение $E_2$ на поверхности, то почему мы, зная его, решаем свободное уравнение? Решение уже есть и решать ничего не нужно.

Для меня не факт, что уравнения излучаемых полей есть свободные УМ во всем пространстве.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #804269 писал(а):

Для меня не факт, что уравнения излучаемых полей есть свободные УМ во всем пространстве.

Да-да-да, это неверно.

[Lexey]

Суперпозиция электростатического поля неподвижного заряда и переменного поля диполя.
Диполь имитирует малое смещение заряда. Если смещение большое - возьмите больше диполей и расположите их вдоль траектории.