Интеграл по замкнутой поверхности

[svv]

Devin в сообщении #802043 писал(а):

где a - вектор, $r=x^i e_i$

1) В тензорном анализе часто пишут, например, $a_i$, подразумевая вектор $\mathbf a$. Т.е. набор компонент понимается как вектор. На самом деле
$\mathbf a=a_i\mathbf e_i$
Здесь $\mathbf a$ — сам вектор, $a_i$ — набор его компонент, $\mathbf e_i$ — набор базисных векторов. Компоненты — это коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам.
Понятно, что $a_i$ и $\mathbf e_i$ — совсем разные вещи. Например, можно найти скалярное произведение $\mathbf e_1\cdot\mathbf e_2$, но нельзя найти скалярное произведение $a_1$ и $a_2$.

Вы видите, что я обозначаю векторы полужирным шрифтом. Можно обозначать стрелочкой: $\vec a=a_i\vec e_i$. А можно никак их не специально не отмечать, как это и сделано в Вашей методичке. Но тогда Munin и Утундрий поймут, что написано, а Вы нет. Поэтому составители методички поступают плохо. Без подсказки разберутся только очень сильные студенты.

В Вашей задаче $\mathbf r=x_i\mathbf e_i$. Это в каком-то смысле исключение. Сам вектор (радиус-вектор) и его компоненты (координаты) обозначаются разными буквами.

2) Аналогично в тензорном анализе пишут $p_{ik}$, подразумевая тензор $P$. Набор компонент символизирует тензор. До такой степени, что во многих книгах сами тензоры (и векторы) никогда не появляются. Только в виде набора компонент: $a_i, p_{ik}$. И читатели иногда потом на всю жизнь усваивают, что это и есть тензоры. Но на самом деле:
$P=p_{ik}\mathbf e_i\otimes\mathbf e_k$
Здесь $\mathbf e_i\otimes\mathbf e_k$ — тензорное произведение векторов $\mathbf e_i$ и $\mathbf e_k$. В Вашей методичке оно несколько нестандартно обозначается $\mathbf e_i\mathbf e_k$. Набор таких «штук» есть базис, по которому раскладываются тензоры, а компоненты тензора — это коэффициенты в таком разложении.

3) Использование базисных векторов и их тензорного произведения $\otimes$ — второй хороший способ выполнить мою просьбу указывать порядок свободных индексов, например:
$n_i \varepsilon_{jk\ell} \varepsilon_{\ell m n}(a_m r_n)_{,_k}\;\mathbf e_i\otimes\mathbf e_j$
Это выражение не боится никакого (правильного) переименования индексов, потому что здесь свободных индексов уже нет (проверьте, все парные). Еще раз подчеркиваю: такое выражение — уже тензор, а не набор компонент.


Интересно, достаточно ли Вам будет этой информации, чтобы правильно записать $\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]$ в компонентах?
Начните с $\mathbf a\times \mathbf r$.

[Munin]

(Оффтоп)

svv в сообщении #803549 писал(а):

А можно никак их не специально не отмечать, как это и сделано в Вашей методичке.

Там они тоже полужирным шрифтом отмечены. А тензоры - полужирным + большой буквой.

svv в сообщении #803549 писал(а):

Сам вектор (радиус-вектор) и его компоненты (координаты) обозначаются разными буквами.

В некоторых учебниках так и принято писать вместо $\mathbf{r}$ - $\mathbf{x}.$

svv в сообщении #803549 писал(а):

В Вашей методичке оно несколько нестандартно обозначается $\mathbf e_i\mathbf e_k$.

Это один из стандартов, как я с удивлением узнал, но мало распространённый. Но как раз в узких областях типа механики сплошных сред - реликтово выживающий. Неудобный, конечно, и сбивающий с толку при столкновении с другими стандартами.

[svv]

Блин, точно, обозначают как надо. Тогда приношу извинения. А фразу понимать как «если составители методички пишут так, это плохо».

Но тогда тем более непонятно, как можно было в выражении $x^i \mathbf e_i$ считать $x$ и $e$ вещами одного порядка и составлять из них векторное произведение. Правда, в стартовом сообщении как раз полужирного нет, может, именно благодаря этому?

[Devin]

Еще раз спасибо всем кто пытается мне помочь. Даже как-то неудобно, это не первая моя задачка когда я прошу помощи на dxdy, обычно хватало 1,2 ответа чтобы решить(+читая всякие учебники и google). А здесь на три странице уже обсуждение, а до решения еще далеко.

Для начало помогите мне определиться как решать задачку.
1) В компонентном виде.
2) Или пользоваться готовыми формулами, как Угундий(правда я не понял пара нюансов, когда он мне расписывал)?

svv в сообщении #803549 писал(а):

Интересно, достаточно ли Вам будет этой информации, чтобы правильно записать $\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]$ в компонентах?
Начните с $\mathbf a\times \mathbf r$.

Не знаю, может быть так?
$\Bigl((\nabla[\operatorname{rot}[a\times x]]\Bigr)_{ji}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p b}(a_p r_b)_{,ik} $
Если и a и r векторы тогда я имею право записать так?
$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V\nabla[(r\cdot\nabla)a-r(\nabla\cdot a)+a(\nabla\cdot r)-(a\cdot\nabla)r]dV$ ну у дальше преобразовывать это выражение.

[svv]

Devin в сообщении #803978 писал(а):

$\Bigl((\nabla[\operatorname{rot}[a\times x]]\Bigr)_{ji}=\varepsilon_{j k\ell}\varepsilon_{\ell m n}\varepsilon_{n p b}(a_p r_b)_{,ik} $

Чуть лучше.
1) Старайтесь векторы в безиндексном виде выделять полужирным. Пишется так: \mathbf a, получается $\mathbf a$.
2) Поменяйте местами $x$ и $r$. Компонента — $x$, вектор — $\mathbf r$.
3) Откуда три Леви-Чивиты?

Devin в сообщении #803978 писал(а):

Если и a и r векторы тогда я имею право записать так?
$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V\nabla[(r\cdot\nabla)a-r(\nabla\cdot a)+a(\nabla\cdot r)-(a\cdot\nabla)r]dV$
ну у дальше преобразовывать это выражение.

1) Конечно, $\mathbf a$ и $\mathbf r$ только векторы, без всяких «если».
2) Вы преобразовали правильно, НО
3) Вам все равно придется перейти к индексной форме, там преобразования делаются легче, поэтому что-то преобразовывать до такого перехода не стоит. Если захотите, потом сделаете весь вывод в безиндексных обозначениях, но только потом.

Итак, работаем с выражением $\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]$. Задача — записать его в компонентах. Если трудно сразу, сделайте в три этапа:
$\mathbf a\times \mathbf r$
$\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)$
$\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]$

[Devin]

$\mathbf a\times \mathbf r=\varepsilon_{ijk}a_jr_k$
$\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)=\varepsilon_{pqj}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,q}$
$\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]=\varepsilon_{pqj}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,qb}$
Посмотрите пожалуйста, если и ошибся то только в третьем выражение.
Если я записал это правильно, постараюсь дальше сам сделать решение.
Нужно Ваше подтверждение, что я правильно записал исходную формулу.
Еще раз спасибо за Вашу помощь и ответы.

[svv]

Пока нет. Что-то Вы такое делаете с выражениями, что у Вас один индекс встречается три раза. Такого быть не должно.

Если индекс свободный, он встречается один раз в левой части и один раз в правой части (точнее, один раз в каждом слагаемом).

Если индекс немой, он встречается дважды в одном слагаемом. В других слагаемых его нет, а если там встречается та же буква, это уже совсем другой индекс.

Ну, и я предполагаю, что Вы умеете считать до трех.

А попробуйте не выносить $\varepsilon$ за дифференцируемое выражение. Это можно сделать потом. Попробуйте также дифференцирование обозначать пока что не запятой, а наблой с индексом. Всё это должно немного уменьшить количество всяких перестановок, которые Вас запутывают.

[Devin]

$\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,q}$
$\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,qb}$
В первом епсилон ошибся, сейчас хотя бы первое выражение должно быть правильно?

[svv]

У Вас есть шанс. Запишите внешние индексы в первом и втором выражении в правильном порядке (одним из двух способов, которые я показал). Если правильно напишете, то будет правильно.

[Munin]

(Оффтоп)

Devin в сообщении #803978 писал(а):

как Угундий

Всё-таки зовут его несколько иначе...

[Утундрий]

(Оффтоп)

Когда я правильно нажимаю на Devin - у меня, к моему удивлению, получается Devin, только Devin и ничего кроме Devin. Так да здравствует же правильно нажимать!

Есть такая формула, весьма в приложениях востребованная:

$$\[ \varepsilon _{iks} \varepsilon _{lms} = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\delta _{il} } & {\delta _{im} } \\ {\delta _{kl} } & {\delta _{km} } \\ \end{array} } \right| \] $$

[svv]

Devin знает эту формулу. Он ею уже несколько раз пользовался, иногда даже правильно. Его проблема в другом — он пока не сформулировал для себя формальных правил построения тензорных выражений в индексной форме и действует, похоже, наугад. (А, кроме того, строит эти выражения не сверху вниз, а снизу вверх, и на последнем этапе путается в переименованиях индексов.)

[Devin]

svv в сообщении #804114 писал(а):

У Вас есть шанс. Запишите внешние индексы в первом и втором выражении в правильном порядке (одним из двух способов, которые я показал). Если правильно напишете, то будет правильно.

Я уже ничего не понимаю. Я думал хоть в первом выражение у меня записано правильно. Вроде расписывая его мы получаем правильный ответ, аналогично вроде и
для этого должно быть так. $\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,qb}$ Но вы говорите, у меня ошибка.
$\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)=N_p=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}\partial_qa_jr_k=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,q}=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_{j,q}r_k+a_jr_{k,q})= (\delta_{pj}\delta_{qk}-\delta_{qk}\delta_{qj})(a_{j,q}r_k+a_jr_{k,q})= a_{p,q}r_q-a_{q,q}r_p+a_pr_{q,q}-a_qr_{p,q}= (r\cdot\nabla)a-r(\nabla\cdot a)+a(\nabla\cdot r)-(a\cdot\nabla)r{$
Время прошло много, задачу я не решил. Здесь много неясностей, например я всегда думал теорема Гауса Остоградского(теорема о дивиргенции) т.е. поток векторноги поля через замкнутую поверхностей, равен дивергенции этого поля по объему. Здесь у нас никакой дивергенции нет, а div заменяется на набла.
Все сроки уже просрочены, я волнуюсь, задачу должен уже сдать. Можете пожалуйста подправить мое выражение?(Посколько мне еще преобразования делать,хочу хоть чуть-чуть продвинутся)
$\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,qb}$

[svv]

Больших ошибок у Вас нет. Я только хотел, чтобы Вы написали не так (слева тензоры, справа компоненты):
$\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,q}$
$\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,qb}$

а вот так (1 способ, слева и справа компоненты):
$\Bigl(\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)\Bigr)_{p}=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,q}$
$\Bigl(\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]\Bigr)_{bp}=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,qb}$

или так (2 способ, слева и справа тензоры):
$\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,q}\;\mathbf e_p$
$\nabla[\nabla\times(\mathbf a\times \mathbf r)]=\varepsilon_{pqi}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,qb}\;\mathbf e_b\otimes\mathbf e_p$

Шанс — имелось в виду, что если бы Вы сделали бы эти уточнения правильно, то и всё было бы правильно, но, согласитесь, они не совсем очевидны. Например, вместо $\Bigr)_{bp}$ легко написать $\Bigr)_{pb}$, а это уже ошибка. Аналогично, вместо $\mathbf e_b\otimes\mathbf e_p$ легко написать $\mathbf e_p\otimes\mathbf e_b$, и это такая же ошибка.