Найти циркуляцию векторного поля

[_PrizraK_]

Найти циркуляцию векторного поля $F=y^2i+z^2j+x^2k$используя формулу Стокса. $[0,2 \pi]$
Непосредственно циркуляцию нашёл, а вот как её найти с помощью формулы Стокса, непонятно. Нужно найти rot F, его нашёл. Какой будет вектор n?
$\oint y^2dx+z^2dy+x^2dz= \int_{0}^{2\pi} (9\cos^2t(-3\sint)+9\sin^2t(-3\sint)+9\cos^3t)dt=0$
$ \operatorname{rot}F=-2z\vect{i}-2x\vect{j}-2y\vect{k}$
Как найти n?

[Dan B-Yallay]

Теперь переведите все это в ТеХ, а то унесут тему в карантин. Чтоб другие темы не заболели.

[_PrizraK_]

$\oint y^2dx+z^2dy+x^2dz= \int_{0}^{2\pi} (9\cos^2t(-3\sint)+9\sin^2t(-3\sint)+9\cos^3t)dt=0$
$ \operatorname{rot}F=-2z\vect{i}-2x\vect{j}-2y\vect{k}$
Как найти n?

[svv]

Внимательно посмотрев на параметрическое уравнение кривой, Вы можете заметить, что $x=y$. Этому условию удовлетворяют все точки кривой.

Вы должны знать, что $x=y$ — это уравнение плоскости. Итак, Ваша кривая (эллипс) лежит в плоскости. Следовательно, искомый вектор $n$ должен быть вектором единичной нормали к плоскости. У него также должно быть выбрано правильное (из двух возможных) направление, соответствующее направлению обхода кривой.

Но имейте в виду, что далеко не всякая кривая может быть уложена в плоскость, это лишь особенность данного задания.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

_PrizraK_
Уравнение кривой забыли написать (на листочке оно было).
Нормаль к поверхности находится исходя из поверхности. Поверхность выбирается исходя из кривой. Кривой нет.

[_PrizraK_]

Да, уравнение кривой: $r=3costi+3costj+3sintk$
Вектор нормали будет $1/\sqrt{3}$?
Тогда интеграл запишется $$$\int_{0}^{2\pi} ((-2z-2x-2y)/\sqrt{3})d\sigma$?

[svv]

Нет. Вектор нормали — это вектор, у него три компоненты $n_x, n_y, n_z$, и ни одна не равна $\frac 1{\sqrt{3}}$.

Тогда более общий вопрос. Дана плоскость $Ax+By+Cz=0$, проходящая через начало координат. Как здесь узреть вектор нормали?

_PrizraK_ в сообщении #802717 писал(а):

Да, уравнение кривой: $r=3costi+3costj+3sintk$

$\mathbf r=3\cos t\;\mathbf i+3\cos t\;\mathbf j+3\sin t\;\mathbf k$
Красиво выглядит? Пишется так:
\mathbf r=3\cos t\;\mathbf i+3\cos t\;\mathbf j+3\sin t\;\mathbf k

[_PrizraK_]

svv в сообщении #802720 писал(а):

Тогда более общий вопрос. Дана плоскость $Ax+By+Cz=0$, проходящая через начало координат. Как здесь узреть вектор нормали?

n(A,B,C)

[svv]

Правильно. Если ввести вектор нормали $\mathbf n(A, B, C)$ и радиус-вектор $\mathbf r(x, y, z)$, то это уравнение плоскости можно записать через скалярное произведение так:
$\mathbf n\cdot\mathbf r=0$
Что означает: плоскости принадлежат те точки, радиус-вектор которых перпендикулярен нормали.

OK. Ну, а в Вашем случае какой вектор нормали будет?

[_PrizraK_]

Цитата:

Ну, а в Вашем случае какой вектор нормали будет?

$\mathbf n (1,1,1)$

[svv]

Ёлы. Откуда такой вектор?
Уравнение плоскости я Вам какое подсказал? Запишите его в форме $Ax+By+Cz=0$.

_PrizraK_, поймите такую вещь. Вы дали мне вектор нормали к плоскости $x+y+z=0$. Но в этой плоскости Ваша кривая не лежит.
Я Вам подсказал плоскость, в которой Ваша кривая лежит. Но у нее другое уравнение и потому другой вектор нормали.

У меня чувство, что Вы, не зная, что написать, просто написали мне один из «популярных» векторов нормали, который часто встречается в учебных задачах, и Вы несколько раз его там видели. Я угадал?

[_PrizraK_]

Я почему-то подумал, что A,B,C числовые коэффициенты, поэтому и написал тот вектор (да и ещё думал смотреть нужно на уравнение поля).
Тогда $\mathbf n = (3 \cos t,3 \cos t,3 \sin t)$, если

Цитата:

Нормаль к поверхности находится исходя из поверхности. Поверхность выбирается исходя из кривой.

[Aritaborian]

svv в сообщении #802720 писал(а):

Красиво выглядит? Пишется так:
\mathbf r=3\cos t\;\mathbf i+3\cos t\;\mathbf j+3\sin t\;\mathbf k

_PrizraK_, вам дают советы, а вы к ним не прислушиваетесь. Это выглядит неуважительно.