Последовательность и предел

[svv]

1) Как нехорошо, что последовательность обозначается той же буквой, что одна из констант. Помимо путаницы, создается впечатление, будто последовательность имеет большее отношение к $a$, чем к $b$. Может, ещё не поздно назвать последовательность $(c_n)$?

2) В Вашей явной формуле в числителе и знаменателе стоят геометрические прогрессии. Можно применить общую формулу, а лучше домножить числитель и знаменатель на $(a-b)$, и почти все телескопически посокращается.

[provincialka]

(Оффтоп)

Null в сообщении #802018 писал(а):

Хотя в общем случае метод provincialka проще.

? Не мой. Я позорно спасовала перед трудностями

[svv]

Enot2, ну что, получили формулу в духе $c_n=ab\dfrac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}}$ ?

[provincialka]

svv, экий вы нетерпеливый!

[Enot2]

Да,получил. Далее разложил $a^n-b^n$ на множители(также поступил и с знаменателем)потом внес в числитель $a$ и получились очень похожие выражения и в числителе и в знаменателе, только в знаменателе мешает $b^n$

[svv]

provincialka

(Оффтоп)

http://dxdy.ru/post562369.html#p562369
http://dxdy.ru/post498985.html#p498985

Enot2
Какая конкретно формула у Вас получилась?

[Enot2]

$\frac{b(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1})}{a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}+b^n}$ мешается $b^n$ в знаменателе...

[svv]

Подождите, зачем Вы опять разложили на множители, когда есть такая хорошая формула?

$$c_n=ab\dfrac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}}\eqno{(1)}$$

Ведь Ваше последнее выражение

$$\frac{b(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1})}{a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}+b^n}\eqno{(2)}$$

— это те же суммы, с которых Вы начинали,

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^n a^{n-i+1}b^i}{\sum\limits_{i=0}^n a^{n-i}b^i }\eqno{(3)}$$

только записанные без знака суммы, перечислением слагаемых.

Поясните: Вы совершили почти полный круг (3)$\to$(1)$\to$(2) (зачем?), или Вам не удалось получить (1) и Вы просто перешли от (3) к (2)?

[provincialka]

Точно, эту формулу и доказывать по индукции легче.
Теперь нужно только к пределу перейти. Собственно, мы уже знаем, что будет либо $a$, либо $b$. Надо только их как-то различить.

(Оффтоп)

svv, вы оказались правы! Товарищ не понял

[Enot2]

нет, умножать я не разучился ещё, поэтому вы ошиблись
$\frac{\sum \limits_{i=1}^n (a^{n-i+1}b^i)(a-b)}{\sum \limits_{i=0}^n (a^{n-i}b^i)(a-b)}=\frac{\sum \limits_{i=1}^n a^{n-i+2}b^i-\sum \limits_{i=1}^n a^{n-i+1}b^{i+1}}{\sum \limits_{i=0}^n a^{n-i+1}b^i-\sum \limits_{i=0}^n a^{n-i}b^{i+1}}$ дальше я просто раскрыл эти суммы и, как вы говорили, все уничтожилось. Ну и с дуру разложил опять в исходное)

-- 16.12.2013, 20:21 --

И по пределу: из предельного перехода мы знаем, что предел либо $a$, либо $b$, как теперь из формулы понять что из них?

[svv]

Enot2 в сообщении #802039 писал(а):

Возможно, стремится к меньшему из $a$ и $b$?

Тепло. Не горячо, но тепло.

Если $a\neq b$ (случай равенства надо рассмотреть отдельно), то в формуле (1) при больших $n$ как в числителе, так и в знаменателе одним из слагаемых можно пренебречь. Но каким? В этом вопрос. Что больше по модулю: $a^n$ или $b^n$? Может, правило какое-то можно сформулировать?

[Enot2]

ну вот тут, видимо, и нужно сказать, если $a>b$ то можно пренебречь $b^n$, так как $n \to \infty$ значит $a^n \gg b^n$ и можно пренебречь $b^n$ (можно без модуля, так как оба числа положительны) аналогично со знаменателем. Получаем в случае $a<b$ предел $a$, а в случае $a>b$ предел $b$. В случае $a=b$ у нас неопределенность $\frac{0}{0}$..тут, может, стоит вообще рассмотреть изначальную рекуррентную, поскольку мы умножали на ноль...выражение с сигмами

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Enot2 в сообщении #802243 писал(а):

значит $a^n>>b^n$

Этот символ набирается так: \gg.

[Enot2]

Спасибо,исправил!

[svv]

Да, всё правильно.