2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 16:30 
Аватара пользователя
1) Как нехорошо, что последовательность обозначается той же буквой, что одна из констант. Помимо путаницы, создается впечатление, будто последовательность имеет большее отношение к $a$, чем к $b$. Может, ещё не поздно назвать последовательность $(c_n)$?

2) В Вашей явной формуле в числителе и знаменателе стоят геометрические прогрессии. Можно применить общую формулу, а лучше домножить числитель и знаменатель на $(a-b)$, и почти все телескопически посокращается.

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 17:03 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Хотя в общем случае метод provincialka проще.
? Не мой. Я позорно спасовала перед трудностями :oops:

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 17:12 
Аватара пользователя
Enot2, ну что, получили формулу в духе $c_n=ab\dfrac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}}$ ?

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 17:17 
Аватара пользователя
svv, экий вы нетерпеливый!

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 17:43 
Аватара пользователя
Да,получил. Далее разложил $a^n-b^n$ на множители(также поступил и с знаменателем)потом внес в числитель $a$ и получились очень похожие выражения и в числителе и в знаменателе, только в знаменателе мешает $b^n$

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 19:06 
Аватара пользователя
provincialka

(Оффтоп)



Enot2
Какая конкретно формула у Вас получилась?

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 19:29 
Аватара пользователя
$\frac{b(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1})}{a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}+b^n}$ мешается $b^n$ в знаменателе...

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 19:54 
Аватара пользователя
Подождите, зачем Вы опять разложили на множители, когда есть такая хорошая формула?$$c_n=ab\dfrac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}}\eqno{(1)}$$
Ведь Ваше последнее выражение$$\frac{b(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1})}{a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}+b^n}\eqno{(2)}$$— это те же суммы, с которых Вы начинали, $$\frac{\sum\limits_{i=1}^n a^{n-i+1}b^i}{\sum\limits_{i=0}^n a^{n-i}b^i }\eqno{(3)}$$только записанные без знака суммы, перечислением слагаемых.

Поясните: Вы совершили почти полный круг (3)$\to$(1)$\to$(2) (зачем?), или Вам не удалось получить (1) и Вы просто перешли от (3) к (2)?

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 20:01 
Аватара пользователя
Точно, эту формулу и доказывать по индукции легче.
Теперь нужно только к пределу перейти. Собственно, мы уже знаем, что будет либо $a$, либо $b$. Надо только их как-то различить.

(Оффтоп)

svv, вы оказались правы! Товарищ не понял :-(

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 20:19 
Аватара пользователя
нет, умножать я не разучился ещё, поэтому вы ошиблись :lol:
$\frac{\sum \limits_{i=1}^n (a^{n-i+1}b^i)(a-b)}{\sum \limits_{i=0}^n (a^{n-i}b^i)(a-b)}=\frac{\sum \limits_{i=1}^n a^{n-i+2}b^i-\sum \limits_{i=1}^n a^{n-i+1}b^{i+1}}{\sum \limits_{i=0}^n a^{n-i+1}b^i-\sum \limits_{i=0}^n a^{n-i}b^{i+1}}$ дальше я просто раскрыл эти суммы и, как вы говорили, все уничтожилось. Ну и с дуру разложил опять в исходное)

-- 16.12.2013, 20:21 --

И по пределу: из предельного перехода мы знаем, что предел либо $a$, либо $b$, как теперь из формулы понять что из них?

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 20:44 
Аватара пользователя
Enot2 в сообщении #802039 писал(а):
Возможно, стремится к меньшему из $a$ и $b$?
Тепло. Не горячо, но тепло.

Если $a\neq b$ (случай равенства надо рассмотреть отдельно), то в формуле (1) при больших $n$ как в числителе, так и в знаменателе одним из слагаемых можно пренебречь. Но каким? В этом вопрос. Что больше по модулю: $a^n$ или $b^n$? Может, правило какое-то можно сформулировать?

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 21:20 
Аватара пользователя
ну вот тут, видимо, и нужно сказать, если $a>b$ то можно пренебречь $b^n$, так как $n \to \infty$ значит $a^n \gg b^n$ и можно пренебречь $b^n$ (можно без модуля, так как оба числа положительны) аналогично со знаменателем. Получаем в случае $a<b$ предел $a$, а в случае $a>b$ предел $b$. В случае $a=b$ у нас неопределенность $\frac{0}{0}$..тут, может, стоит вообще рассмотреть изначальную рекуррентную, поскольку мы умножали на ноль...выражение с сигмами

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 21:33 
Аватара пользователя

(Про ТеХ)

Enot2 в сообщении #802243 писал(а):
значит $a^n>>b^n$
Этот символ набирается так: \gg.

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 21:41 
Аватара пользователя
Спасибо,исправил!

 
 
 
 Re: Последовательность и предел
Сообщение16.12.2013, 22:19 
Аватара пользователя
Да, всё правильно. :-)

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group