Для чего нужен предел?

[provincialka]

msgusa в сообщении #798975 писал(а):

Совсем не так или не совсем так? Я всегда считал и до сих пор пока считаю математику инструментом человека. Но математику мы применяем в реальной жизни.

Нет. В реальной жизни мы применяем некоторые математические модели, хорошо описывающие действительность. Но в самой математике никто не будет считать "применимость в реальной жизни" или "соответствие естественному языку" сколько-нибудь существенным аргументом. Термин есть термин. Если вам кажется, что термин "предел" не совсем удачен, так как наводит на мысль о "границе" - что ж, отчасти я с вами согласна. Но это быстро проходит, когда человек начинает работать с новым термином по правилам математики, а не по правилам русского языка.

msgusa в сообщении #798975 писал(а):

Ага, т.е.: ко мне домой пришли мои друзья. Я начал резать их на дольки по данному закону. При этом получу некоторую числовую последовательность. Получил "сколь угодно малые" дольки яблока. Я конечно же режу дальше, так как выполняю условие: число $n$ стремится к бесконечности. В итоге я получаю снова, но уже другие "сколь угодно малые" величины. Собственно, вопрос: до каких пор я должен это повторять, чтобы найти предел? От того, что я буду получать различные числа $e$, предел не должен ведь меняться, правда?

Неверное рассуждение. Во-первых, в данном случае предел никогда не будет достигнут в реальности. Он будет "достигнут", только если к вам придет бесконечное число друзей. Во-вторых, $\varepsilon$ - это не размер дольки, а только граница для такого размера.
Например, я говорю: мы можем сделать дольку меньше 1/20 яблока. Можем? Можем, надо только поделить его на 21 часть. Или на 22, 23, ...
Но потом я передумываю,1/20 - это многовато. Можем ли мы получить меньше, чем 1/100 часть яблока? Можем, если поделим его на 101,102, 103. ... частей. Заметьте, наше свойство (быть меньше 1/100 яблока) выполняется не только для $n=101$, но и для всех $n$ бОльших него.
И то же мы видим не только для $\varepsilon=1/20$ или $\varepsilon=1/100$, но и для любого положительного $\varepsilon$. В этом и состоит смысл определения.

(Оффтоп)

Вы престранно выражаетесь. То у вас числа приносят яблоки. То вы друзей резать собрались . Может, лучше все-таки яблоки? Такая неряшливость недопустима даже в естественной речи, что уж говорить про строгую, формальную речь математики!

[msgusa]

Всем большое спасибо за разъяснения. Я пока не готов сказать: "я понял". Мне нужно еще раз хорошенько обдумать на свежую голову.)

provincialka, простите, что "престранно" выражаюсь. Постараюсь больше не допускать этого. Спасибо.

[_Ivana]

msgusa в сообщении #798997 писал(а):

Я пока не готов сказать: "я понял".

Потому что вам говорят: загадывайте эпсилон, а вы не решаетесь.

[provincialka]

Пусть человек выспится! А то уже "мальчики кровавые в глазах".

[msgusa]

Итак.

Что же такое предел?
Предел - это число. И еще это математическая абстракция. В том смысле, в котором данное понятие применяется в математике, не применяется в физическом мире (или применяется?)
Если числовая последовательность сходится (т.е. имеет предел), то она обладает некоторым свойством стремиться к одному и тому же числу - к пределу. (почему она стремится пока не знаю).

Теперь вернемся к определению предела.

Что такое $\varepsilon$?
Это сколь угодная малая величина. Она не определяет предел. Зачем же она нужна тогда? С помощью нее мы устанавливаем некоторую границу. Еще она позволяет выбрать некоторое число $N$ (обязательно положительное, но вот должно ли быть оно натуральным пока для меня неясно - в определении не сказано об этом явно). Выбирая $N<\varepsilon$, далее выбираем число $n>N$. Варьируя числами $n$, выбираем различные члены последовательности $a_n$.
Остается только проверить условие в определении и ответить на вопрос: "является ли число $A$ пределом последовательности числовой или нет". Т.е. для каждого члена последовательности смотрим, подпадает ли разность $(a_n-A)$ в $\varepsilon$-окрестность т. А. Если да, то это предел. Если нет - то можем еще поиграться числом $N$ и убедиться, что предела нет.

И теперь главный вопрос. Для чего нам нужно понятие предела? Просто искать эти числа?

[arseniiv]

msgusa в сообщении #799037 писал(а):

Для чего нам нужно понятие предела?

Хотя бы для определения производной. Хотя бы.

(Предугадываю ответ: для чего нужна производная?)

Или, например, как вы найдёте длину окружности? Площадь круга? Если у вас дом цилиндрической формы и вы сильно-сильно (чтобы не платить никакого лишнего положительного числа денег) экономите на обоях и половых покрытиях, вам это бы очень пригодилось кстати.

[Munin]

Не надо путать понятие предела и определение предела. (Некоторые считают, что определение - это и есть понятие, ну и пусть. На самом деле, понятие часто бывает до определения, и ему дают несколько разных определений.)

Понятие предела - это что-то интуитивное, на уровне:
"Если мы будем вести пальцем по графику, и дойдём до $x=x_0,$ то куда мы уткнёмся?"
"Если у нас величина будет принимать разные колеблющиеся значения, но потом колебания успокоятся, то какое значение величины в конце концов установится?"

А определение на $\varepsilon\text{---}\delta$-языке - это всего лишь способ формализовать эти понятия. Он состоит из двух вещей:
1) А существует ли вообще предел? (Успокоятся ли колебания? Станет ли неподвижным палец?)
2) Если он существует, то чему он равен?
Для первого нужны $N,\delta,\varepsilon.$ Если предела не существует - то эти величины просигналят, что что-то не так. Если предел существует - то они не важны. Для второго - нужно умение вычислять предел, и есть набор правил для вычисления.

И теперь, для чего нужно понятие предела? Да, просто искать эти числа.
На самом деле, предел сам по себе в жизни практически не используется. Он используется в математике как "кирпичик" для построения других понятий: производной, интеграла, непрерывности, разрыва, асимптоты. Сам по себе он так же неинтересен, как отдельный кубик конструктора.

[iifat]

(Оффтоп)

msgusa в сообщении #799037 писал(а):

почему она стремится пока не знаю

Ох, хоть над этим-то не думайте. Со страхом ожидаю вопросов по сихологическим особенностям последовательностей, заставляющим их безуспешно стремиться к своему пределу...

Такое чувство, что вам ещё предстоит осознать: $\varepsilon$ — не число. Это пустышка. Последовательность стремится к пределу — это значит, что мы можем указать закон, который по $\varepsilon$ строит $N$, понимаете? Ну, или доказать его наличие, не выражая в явном виде. Вот, к примеру, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n=0$. Для любого $\varepsilon$ можно найти $N$: для 0,1 это 11, для 0,01 это 101, для 1 это 1.

[provincialka]

msgusa, если вам очень хочется придумать какое-то образное объяснение предела, попробуйте так. Пусть $a_n$ - последовательные приближения к некоему результату. Так вот, этот результат - предел, $\varepsilon $ задает необходимую точность (оценку погрешности), а $N_\varepsilon $ - число шагов, которые надо сделать, чтобы добиться приемлемой (меньше эпсилон) погрешности. Причем, после того, как мы этого добились, погрешность не должна на всех шагах превышать $\varepsilon $. Ну, а сама оценка погрешности - произвольная (фактически переменная).

Но вообще-то всего этого не надо. Надо просто привыкнуть к определению и свойствам.

[svv]

А если при выбранном $\varepsilon$ мы ни при каком $N$ не вписываемся окончательно в ворота $(A-\varepsilon, A+\varepsilon)$, значит, $A$ (кандидат на роль предела) был выбран неправильно.

Возможна ситуация, когда его «правильно» и нельзя выбрать. Это называется «последовательность не имеет предела».

[msgusa]

arseniiv, спасибо за идею как сэкономить на ремонт.
Munin, спасибо за доходчивое объяснение.
iifat, спрашивать про это не буду, самому страшно.
provincialka, наверное, вот такие образные объяснения очень нужны на первоначальной стадии. Удивило - это фактически я делаю каждый день.
svv, ага, спасибо за дополнение.

Думаю, что теперь я смогу объяснить самому себе, что такое предел... на интуитивном уровне.

Скажите, в будущем я могу снова прийти к этой теме с возможностью что-либо обсудить по поводу предела?

[Aritaborian]

msgusa в сообщении #799151 писал(а):

на интуитивном уровне.

Но лучше всё таки понять и формальное определение. Именно понять, а не зазубрить. Поверьте, оно не страшное, а очень ясное. Вам ведь уже разжевали.

msgusa в сообщении #799151 писал(а):

Скажите, в будущем я могу снова прийти к этой теме с возможностью что-либо обсудить по поводу предела?

Можете, само собой.

[Munin]

Может быть, чтобы увидеть во всём этом смысл, стоит посмотреть, как предел применяется?

Ну хотя бы для понятия суммы бесконечной геометрической прогрессии.