Для чего нужен предел?

[msgusa]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане.

Я открываю учебник по матанализу и читаю определение предела числовой последовательности, а именно:
---------------------------------------------
Число А называется пределом числовой последовательности ${a_n}$, если для любого как угодно малого положительного числа $\varepsilon$ существует номер $N$ такой, что все члены последовательности $a_n$ с номерами $n>N$ удовлетворяют неравенству $|a_n-A|< \varepsilon$.
----------------------------------------------

Меня смущает число $\varepsilon$. Не могу понять, почему оно, во-первых, произвольное, а во-вторых, положительное.

Для упрощения моего восприятия давайте разберем пример с яблоками. Пусть дана последовательность $a_n=\frac{n+1}{n}$
$n$ - это количество людей. $a_n$ - это количество яблок.
Определим предел этой числовой последовательности. Для этого по определению предела мы должны ввести некое число $\varepsilon$, такое, чтобы оно было малым и положительным. Вопрос: как его выбирать?
И что будет выражать предел в таком случае?

Как я понимаю термин "предел": возьмем все те же яблоки, а точнее яблони. Пусть яблони у нас совершенно одинаковые. Посадим их на своем участке. Каждый год каждое дерево приносит разное количество яблок. Например, первое - 10, второе - 20, третье 7 и т.д. Пределом, по моему мнению, будет считаться то число, которое обязательно принесет яблоко каждый год при t (время), стремящееся к бесконечности).

[provincialka]

Почитайте правила. Формулы нужно оформлять с помощью $\TeX$.

После того, как оформите, расскажите свое понимание: что такое предел. А мы покажем, как от него перейти к формальному определению.

[Aritaborian]

(provincialka)

И охота вам каждый раз разъяснять про формулы и попытки решения? Это дело модераторов. Я всегда пользуюсь кнопкой , отправляя модератору сигнал. А он уж отправляет в карантин (или не отправляет ;-). Кнопочка для того и нужна, зря вы её игнорируете, ИМХО. Это ведь отлаженная система.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: немного доисправил формулы и вернул.

[_Ivana]

msgusa в сообщении #798910 писал(а):

Определим предел этой числовой последовательности. Для этого по определению предела мы должны ввести некое число $\varepsilon$, такое, чтобы оно было малым и положительным. Вопрос: как его выбирать?
И что будет выражать предел в таком случае?

Неправильно. "Определить" предел - это найти число $A$ (в ваших терминах). Найдите его, кстати. А после этого выбирайте любое $\varepsilon$ и доказывайте, что начиная с определенного $N$ все члены последовательности отличаются от $A$ не более, чем на $\varepsilon$.

[Aritaborian]

А давайте без яблок. Дана последовательность $a_n=\frac1n$. Чему равен её предел при $n\to\infty$? (Это очевидно, не так ли?)

[provincialka]

msgusa в сообщении #798910 писал(а):

Как я понимаю термин "предел": возьмем все те же яблоки, а точнее яблони. Пусть яблони у нас совершенно одинаковые. Посадим их на своем участке. Каждый год каждое дерево приносит разное количество яблок. Например, первое - 10, второе - 20, третье 7 и т.д. Пределом, по моему мнению, будет считаться то число, которое обязательно принесет яблоко каждый год при t (время), стремящееся к бесконечности).

Несколько туманно. Как это у вас числа яблоки приносят (выделение мое)? Но, насколько я поняла, пределом вы называете границу, ниже которой не опускается величина.
Это неверно. Хотя в обыденном языке граница и предел - до некоторой степени синонимы, в математике это не так.

Например, в примере с раздачей яблок вы делите $n+1$ яблоко на $n$ людей. Каждому достанется по одному яблоку плюс маленький кусочек. И чем больше людей, тем этот кусочек будет меньше, с ростом $n$ он станет сколь угодно малым. Вот это понятие "сколь угодно малый" и формализуется с помощью величины $\varepsilon$. Сколь угодно малый - значит, меньше любого наперед заданного числа. Но, конечно, $\varepsilon$ берут положительным. Числа, меньшие, скажем, $-1$, вряд ли можно считать малыми.

[msgusa]

Всем спасибо за то, что ответили.)

_Ivana в сообщении #798943 писал(а):

Неправильно. "Определить" предел - это найти число $A$ (в ваших терминах). Найдите его, кстати. А после этого выбирайте любое $\varepsilon$ и доказывайте, что начиная с определенного $N$ все члены последовательности отличаются от $A$ не более, чем на $\varepsilon$.

Простите, _Ivana, но как по-вашему я найду предел, не совсем понимая, что это такое.) В общем, если я правильно вас понял, $\varepsilon$ является некоторым дополнительным условием, при которым число А становится тем самым пределом. Но ведь варьировать этой переменной я могу в достаточно широком диапазоне. Что если в одном диапазоне условие это выполнится, а уже в другом диапазоне - нет.

-- 11.12.2013, 00:41 --

Aritaborian в сообщении #798944 писал(а):

А давайте без яблок. Дана последовательность $a_n=\frac1n$. Чему равен её предел при $n\to\infty$? (Это очевидно, не так ли?)

Это очевидно, но, как ни странно, непонятно.

[provincialka]

Нет, $\varepsilon$ не является "дополнительной переменной". Предел - сам по себе предел, он не определяется $\varepsilon$.

Кстати, вопрос "как я буду находить предел" - это совершенно другой вопрос, он не решается с помощью определения. Чтобы проверить определение, вы должны заранее выбрать число $A$, которое, по видимому, является пределом. А уж как его найти - это отдельный вопрос, и этому посвящено несколько практических занятий по матану.

[_Ivana]

msgusa в сообщении #798956 писал(а):

Что если в одном диапазоне условие это выполнится, а уже в другом диапазоне - нет.

Тогда $A$ не является пределом. А если является, то условие выполняется в любом диапазоне.
Но давайте к практике - угадывайте, чему равно $A$ в вашем примере? Хоть в Экселе протяните первые 100 значений последовательности.

[Aritaborian]

msgusa в сообщении #798956 писал(а):

Это очевидно, но, как ни странно, непонятно.

(Я о своём примере). И чему же он равен?

[msgusa]

provincialka в сообщении #798947 писал(а):

Это неверно. Хотя в обыденном языке граница и предел - до некоторой степени синонимы, в математике это не так.

Совсем не так или не совсем так? Я всегда считал и до сих пор пока считаю математику инструментом человека. Но математику мы применяем в реальной жизни.

provincialka в сообщении #798947 писал(а):

Вот это понятие "сколь угодно малый" и формализуется с помощью величины $\varepsilon$. Сколь угодно малый - значит, меньше любого наперед заданного числа. Но, конечно, $\varepsilon$ берут положительным. Числа, меньшие, скажем, $-1$, вряд ли можно считать малыми.

Ага, т.е.: ко мне домой пришли мои друзья. Я начал резать их на дольки по данному закону. При этом получу некоторую числовую последовательность. Получил "сколь угодно малые" дольки яблока. Я конечно же режу дальше, так как выполняю условие: число $n$ стремится к бесконечности. В итоге я получаю снова, но уже другие "сколь угодно малые" величины. Собственно, вопрос: до каких пор я должен это повторять, чтобы найти предел? От того, что я буду получать различные числа $e$, предел не должен ведь меняться, правда?

По поводу примера, Aritaborian. Очевидно, что он будет стремиться к 0, так как будем получать очень маленькие значения, близкие к 0.
В моем примере, он равен 1.

[Aritaborian]

msgusa в сообщении #798975 писал(а):

По поводу примера, Aritaborian. Очевидно, что он будет стремиться к 0.

Ага. Тут вы, безусловно, правы. А теперь распишем это ваше

msgusa в сообщении #798975 писал(а):

так как будем получать очень маленькие значения, близкие к 0.

по всем правилам, с применением эпсилона и прочей магии. Можете сделать это самостоятельно (по аналогии с тем, что вы написали в стартовом посте)?

[_Ivana]

Со значениями пределов определились. Теперь загадывайте выбирайте какой-нибудь $\varepsilon$.