Задача,связанная с последовательностью Фибоначчи

[MestnyBomzh]

Доказать,что для последовательности Фибоначчи выполнено: $9=\sqrt{3f_2f_4+f_4\sqrt{3f_4f_6+f_6\sqrt{3u_6u_8+......}}}$
Я думал воспользоваться формулой, выполненной для чисел Фибоначчи: $(f_n)^2=f_{n-1}f_{n+1}+(-1)^{n+1}$ То есть получаем: $9=\sqrt{3(f_3)^2-3+f_4\sqrt{3(f_5)^2-3+f_6\sqrt{3(f_7)^2+......}}}$А дальше тупик,подскажите,что тут делать

[Neos]

Попробуйте формулу Бине. Выражение справа станет более "однородным".

[MestnyBomzh]

Neos в сообщении #798538 писал(а):

Попробуйте формулу Бине. Выражение справа станет более "однородным".

Ну получается так: $\sqrt{\frac{3}{5\cdot 2^6}((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2)^2\cdot ((1+\sqrt{5})^2+(1-\sqrt{5})^2)+.....}$и это только умножение $u_2u_4$..а как дальше?

[Neos]

MestnyBomzh в сообщении #798580 писал(а):

это только умножение $u_2u_4$..а как дальше?

А кому теперь легко ? Имеет место такое выражение

$$9=\sqrt{72+\sqrt{72+\sqrt{72+~.~.~.~}}}~~~(1)$$

Возможны два пути. Один - "вычислить" правую часть, обнаружив определенную закономерность.(1) как пример. Второй - искать ее как предел.

[MestnyBomzh]

Neos в сообщении #798637 писал(а):

MestnyBomzh в сообщении #798580 писал(а):

это только умножение $u_2u_4$..а как дальше?

А кому теперь легко ? Имеет место такое выражение

$$9=\sqrt{72+\sqrt{72+\sqrt{72+~.~.~.~}}}~~~(1)$$

Возможны два пути. Один - "вычислить" правую часть, обнаружив определенную закономерность.(1) как пример. Второй - искать ее как предел.

я, честно говоря, не понял какое отношение эта последовательность имеет к данной?Безусловно, при переходе к пределу в рекуррентной формуле мы получим 9,но у изначальной последовательности числа под корнем все время разные....Ещё я вспомнил про то,как Рамануджан строил свою последовательность из бесконечных корней,может это здесь как-то поможет?

[svv]

Справедлива формула $3f_{k}=\sqrt{3f_{k-2}f_{k}+f_{k}\cdot 3f_{k+2}}$ (докажите).

Имеем $9=3f_4$

Пользуясь формулой для $k=4$, заменяем $3f_4$ на $\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\cdot 3 f_{6}}$ и получаем
$9=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\cdot 3 f_{6}}$

Пользуясь формулой для $k=6$, заменяем $3f_6$ на $\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\cdot 3 f_{8}}$ и получаем
$9=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\cdot 3f_{8}}}$

Пользуясь формулой для $k=8$, заменяем $3f_8$ на $\sqrt{3f_{6}f_{8}+f_{8}\cdot 3 f_{10}}$ и получаем
$9=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\sqrt{3f_{6}f_{8}+f_{8}\cdot 3 f_{10}}}}$

И так далее.

(MestnyBomzh)

С Вас дабл чизбургер, средний картофель фри и маленький кофе латте.

[MestnyBomzh]

svv в сообщении #798778 писал(а):

Справедлива формула $3f_{k}=\sqrt{3f_{k-2}f_{k}+f_{k}\cdot 3f_{k+2}}$ (докажите).

Имеем $9=3f_4$

Пользуясь формулой для $k=4$, заменяем $3f_4$ на $\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\cdot 3 f_{6}}$ и получаем
$9=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\cdot 3 f_{6}}$

Пользуясь формулой для $k=6$, заменяем $3f_6$ на $\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\cdot 3 f_{8}}$ и получаем
$9=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\cdot 3f_{8}}}$

Пользуясь формулой для $k=8$, заменяем $3f_8$ на $\sqrt{3f_{6}f_{8}+f_{8}\cdot 3 f_{10}}$ и получаем
$9=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\sqrt{3f_{6}f_{8}+f_{8}\cdot 3 f_{10}}}}$

И так далее.

(MestnyBomzh)

С Вас дабл чизбургер, средний картофель фри и маленький кофе латте.

Спасибо огромное!! Получилось, что главная фишка задачи заключалась в таком подборе изначальной формулы, от который уже и будем плясать:)

[svv]

Тут ещё такая тонкость есть. Последовательность $(p_n)$ наших вложенных радикалов сходится по построению, так как каждый её элемент равен $9$:
$p_1=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\cdot 3 f_{6}}=9$
$p_2=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\cdot 3f_{8}}}=9$
$p_3=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\sqrt{3f_{6}f_{8}+f_{8}\cdot 3 f_{10}}}}=9$

Но в теории, скорее всего, значением бесконечно вложенного радикала считается предел (если он существует) не $(p_n)$, а вот такой последовательности:
$q_1=\sqrt{3f_{2}f_{4}}$
$q_2=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\sqrt{3f_{4}f_{6}}}$
$q_3=\sqrt{3f_{2}f_{4}+f_{4}\sqrt{3f_{4}f_{6}+f_{6}\sqrt{3f_{6}f_{8}}}}$
Каждый её элемент получается из «бесконечного» выражения отбрасыванием очередного внутреннего радикала с множителем и со всем, что внутри.

Так вот, по-хорошему надо ещё доказать, что
$\lim\limits_{n\to\infty}(p_n-q_n)=0$
То есть отбрасывание в $p_n$ внутри самого внутреннего радикала слагаемого $f_{2n+2}\cdot 3 f_{2n+4}$ тем меньше влияет на значение всего выражения, чем глубже это слагаемое спрятано — чем больше $n$.