2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 00:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Нет, ну у ewertа тоже интересный подход, я бы сказал, развлекательный. Вычислить векторное произведение, потом вычислить смешанное, а потом увидеть, что ничего этого не надо было делать, а нормаль никому не нужна, потому что прямые не пересекаются, что было очевидно без всяких вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 00:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

VAL в сообщении #797969 писал(а):
Это, как минимум, субъективно.

Нет, конкретно это -- вполне объективно. Компланарность или нет трёх векторов -- сугубо геометрический факт. Перепараметризация собственно уравнений -- вполне наоборот.


-- Пн дек 09, 2013 01:17:05 --

(Оффтоп)

svv в сообщении #797978 писал(а):
потому что прямые не пересекаются, что было очевидно без всяких вычислений.

Это в принципе не может быть очевидно "безо всяких вычислений". Просто вычисления могут сводиться к жонглированию формулками, а могут исходить из идейных (в данном случае геометрических) соображений. Я лично, раз уж речь о геометрии, предпочитаю студентов на геометрию и настраивать.

Правда, тут нюанс. Если бы вопрос ставился лишь о том, пересекаются или нет -- то, наверное, игрища с уравнениями были бы действительно наиболее адекватными. Но ведь тут надо ещё и плоскость найти. А тогда адекватность переворачивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora

(Оффтоп)

ewert в сообщении #797981 писал(а):
Я лично, раз уж речь о геометрии, предпочитаю студентов на геометрию и настраивать.
Вот пусть это и будет «лично». Из уважения к другим личностям.

Понимаете, Вы ж не говорите «А можно ещё и так». Вы же именно претендуете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 00:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

svv в сообщении #797992 писал(а):
Понимаете, Вы ж не говорите «А можно ещё и так».

Что значит "не говорю"? Я ровно это и подразумеваю. Просто на меня зачем-то тут наехали за то, что я позволил себе назвать геометрическим подходом именно геометрический. Я не то что бы против наездов, но против неадекватности в формулировках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 00:50 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
svv в сообщении #797978 писал(а):
прямые не пересекаются, что было очевидно без всяких вычислений.
Как это видно без вычислений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
ewert, там средние члены канонических уравнений совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 00:57 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Если вот это вот:
Ebelzider в сообщении #797746 писал(а):
$\frac{x}0$=$\frac{y-2}1$=$\frac{z+1}2$

означает, что $x=0, \dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{2}$, то я не очень понимаю суть проблемы. У вас если есть точка пересечения, то у неё $x=0$. Подставляете $0$ во вторую прямую…

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 01:09 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград

(Оффтоп)

ewert в сообщении #797995 писал(а):
Что значит "не говорю"? Я ровно это и подразумеваю. Просто на меня зачем-то тут наехали за то, что я позволил себе назвать геометрическим подходом именно геометрический. Я не то что бы против наездов, но против неадекватности в формулировках.
Старался быть предельно корректным и ни на кого не наезжать. Для этого говорил о субъективности восприятия etc.Но раз уж все обвинили в наезде, наеду по полной :-)
Компланарность векторов - понятия из алгебры. То, что в геометрии используют аппарат линейной алгебры, не делает его геометрией.
Плоскость - объект сугубо геометрический. Значит, и уравнение плоскости ближе к геометрии, чем чистая компланарность векторов. Я понимаю, что выводе уравнения, все равно не избежать алгебры. Но тут уж ничего не поделаешь, условие изначально сформулировано на языке аналитической геометрии, а она изначально использует методы алгебры.

PS: Кстати, я не понял, о каких векторах нормали Вы говорите при проверке прямых на скрещивание? Достаточно найти смешанное произведение (а еще проще ранг матрицы) направляющих векторов и вектора-моста. Причем тут нормали?

Бедный ТС! А ведь мы с ним были уже у цели... :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 14:36 


08/12/13
13
VAL в сообщении #797915 писал(а):
Ebelzider в сообщении #797913 писал(а):
VAL в сообщении #797908 писал(а):
Итак, у нас две пространственные прямые. Каждая из них задана точкой и вектором. Можете указать эти точки и эти векторы?

Ну дык это
1) M(0;2;-1) a{0;1;2}
2) M(-3;2;0) a{3;1;-1}
Отлично! Только почему у Вас разные точки и разные векторы одинаково называются?
А можете составить уравнение плоскости (проще всего параметрическое), проходящее через вторую точку $M$, используя в качестве направляющих векторов оба вектора $a$.

А вот это не могу сделать :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 18:06 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Ebelzider в сообщении #798221 писал(а):
VAL в сообщении #797915 писал(а):
Ebelzider в сообщении #797913 писал(а):
Ну дык это
1) M(0;2;-1) a{0;1;2}
2) M(-3;2;0) a{3;1;-1}
Отлично! Только почему у Вас разные точки и разные векторы одинаково называются?
А можете составить уравнение плоскости (проще всего параметрическое), проходящее через вторую точку $M$, используя в качестве направляющих векторов оба вектора $a$.

А вот это не могу сделать :-(

А в чем проблема? Векторы есть, точка тоже. Берем и выписываем:
$$\left\{\begin{array}{lcrcrcr}
x&=&-3&+&3u\\
y&=&2&+&u&+&v\\
z&=&&-&u&+&2v
\end{array}\right. $$Эта плоскость по построению содержит вторую прямую. Осталось проверить, содержит ли она первую (тогда это ответ), либо параллельна ей (тогда решений нет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Мне кажется, что там не минус один в самом крайнем знаменателе, а просто один. Опечатка в задании?
Почему сразу не начать с первого вопроса? Привести к параметрическому виду и посмотреть систему. А если точки нет и прямые непараллельны, о чём ТС сказал, то и плоскости быть не может. А если точка есть, то от неё и параметрическое уравнение сразу записывается. Впрочем, наверное, я чего-то не так понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 19:29 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
gris в сообщении #798345 писал(а):
Почему сразу не начать с первого вопроса?

Вот именно. Я же сказал, подставить $0$, понять, что точка есть $(0,3,-1)$, и увидеть, что она не подходит. Так что, либо в задании ошибка, либо ответ: не пересекаются, и плоскости нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 21:32 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Nemiroff в сообщении #798348 писал(а):
gris в сообщении #798345 писал(а):
Почему сразу не начать с первого вопроса?

Вот именно. Я же сказал, подставить $0$, понять, что точка есть $(0,3,-1)$, и увидеть, что она не подходит. Так что, либо в задании ошибка, либо ответ: не пересекаются, и плоскости нету.
То, что пишете Вы, не сразу понимаю даже я, человек в аналитической геометрии достаточно искушенный.
Поэтому сильно сомневаюсь, что ТС Вас поймет :-)

Понятно,что, решить эту простейшую задачку можно многими способами:

1) выяснить, что ранг матрицы $$\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\3&1&-1\\-3&0&1\end{array}\right)$$ равен трем и, следовательно, прямые скрещиваются;

2) заметить, что первая прямая лежит в плоскости $yOz$, а вторая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой;

3) тупо написать общее уравнение плоскости, подставить в него по две точки с каждой прямой и убедиться, что получившаяся система несовместна.

И т. д. И т. п.

Понятно, что второй метод ведет к цели быстрее, чем, например, третий.
Но это не значит, что он лучший: вдруг в следующей задаче ни одна из прямых не будет лежать в координатной плоскости? :wink:

Теперь о том, чего я не понимаю.
Я не понимаю, почему предложенный мной способ решения (вполне общий, и не слишком громоздкий: параметрическое уравнение плоскости, содержащей данные прямые или параллельной одной из них, выписывается без вычислений) встречен "местной общественностью буквально "в штыки" :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 21:42 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
VAL в сообщении #798421 писал(а):
То, что пишете Вы, не сразу понимаю даже я, человек в аналитической геометрии достаточно искушенный.

Хм.
Вот это: $x=0, \dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ — одна из прямых. На ней $x=0$. Поэтому, если прямые пересекаются, то у точки пересечения $x=0$.
Вот это: $\dfrac{x+3}3=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z}{-1}$ — вторая прямая. Подставляем в неё $x=0$. Получаем точку $(0,3,-1)$.
Проверяем, что эта точка не принадлежит первой прямой.
Странно, что получилось непонятно.
VAL в сообщении #798421 писал(а):
Но это не значит, что он лучший: вдруг в следующей задаче ни одна из прямых не будет лежать в координатной плоскости?

Он лучше в том смысле, в котором частный способ лучше общего — общий, и ежу понятно, сойдется, а над частным чуть-чуть подумал и получил ответ красиво и быстро.
Общий способ, с другой стороны, тем и хорош, что универсален, а потому пригоден для преподавания. Но если сразу видна дырка в заборе, зачем идти за автогеном?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.
Сообщение09.12.2013, 22:24 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Nemiroff в сообщении #798426 писал(а):
VAL в сообщении #798421 писал(а):
То, что пишете Вы, не сразу понимаю даже я, человек в аналитической геометрии достаточно искушенный.

Хм.
Вот это: $x=0, \dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ — одна из прямых. На ней $x=0$. Поэтому, если прямые пересекаются, то у точки пересечения $x=0$.
Вот это: $\dfrac{x+3}3=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z}{-1}$ — вторая прямая. Подставляем в неё $x=0$. Получаем точку $(0,3,-1)$.
Проверяем, что эта точка не принадлежит первой прямой.
Странно, что получилось непонятно.
Спасибо за разъяснения!
Правда, я не утверждал, что мне непонятно. Я написал "не сразу понимаю".
А чтобы не было сомнений, что, все же, понимаю, изложил этот способ под номером 2 :-)
Цитата:
VAL в сообщении #798421 писал(а):
Но это не значит, что он лучший: вдруг в следующей задаче ни одна из прямых не будет лежать в координатной плоскости?

Он лучше в том смысле, в котором частный способ лучше общего — общий, и ежу понятно, сойдется, а над частным чуть-чуть подумал и получил ответ красиво и быстро.
Общий способ, с другой стороны, тем и хорош, что универсален, а потому пригоден для преподавания. Но если сразу видна дырка в заборе, зачем идти за автогеном?
Это зависит от целей.
Если нам надо преодолеть забор - одно дело.
А если освоить автоген - другое.

(Оффтоп)

Вспомнился рассказ одного коллеги. Он (как и я) турист-водник.
Как-то они шли (на байдарках) допоздна. Уже стемнело, а мест, где можно разбить лагерь и заночевать, все не было. Наконец, нашли (практически на ощупь) участок берега, пригодный для ночлега . Только стали выгружаться, наткнулись на сетку-рабицу, растянутую вдоль берега. Посветили фонариком - за сеткой относительно ровная поляна, где можно поставить палатки, и никаких объектов, оправдывающих назначение сетки. Плыть дальше нет сил, хочется спать, да и неизвестно, будет ли еще поблизости место для ночлега. Достали кусачки, проделали в сетке дыру, протащили туда свои вещи...
Утром проснулись, высунулись из палаток: вдоль берега небольшой участок сетки, слева и справа - свободный проход, а в середине сетки большая дыра.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group