Найти уравнение плоскости, в которой лежат прямые.

[svv]

Нет, ну у ewertа тоже интересный подход, я бы сказал, развлекательный. Вычислить векторное произведение, потом вычислить смешанное, а потом увидеть, что ничего этого не надо было делать, а нормаль никому не нужна, потому что прямые не пересекаются, что было очевидно без всяких вычислений.

[ewert]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #797969 писал(а):

Это, как минимум, субъективно.

Нет, конкретно это -- вполне объективно. Компланарность или нет трёх векторов -- сугубо геометрический факт. Перепараметризация собственно уравнений -- вполне наоборот.

-- Пн дек 09, 2013 01:17:05 --

(Оффтоп)

svv в сообщении #797978 писал(а):

потому что прямые не пересекаются, что было очевидно без всяких вычислений.

Это в принципе не может быть очевидно "безо всяких вычислений". Просто вычисления могут сводиться к жонглированию формулками, а могут исходить из идейных (в данном случае геометрических) соображений. Я лично, раз уж речь о геометрии, предпочитаю студентов на геометрию и настраивать.

Правда, тут нюанс. Если бы вопрос ставился лишь о том, пересекаются или нет -- то, наверное, игрища с уравнениями были бы действительно наиболее адекватными. Но ведь тут надо ещё и плоскость найти. А тогда адекватность переворачивается.

[svv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #797981 писал(а):

Я лично, раз уж речь о геометрии, предпочитаю студентов на геометрию и настраивать.

Вот пусть это и будет «лично». Из уважения к другим личностям.

Понимаете, Вы ж не говорите «А можно ещё и так». Вы же именно претендуете.

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #797992 писал(а):

Понимаете, Вы ж не говорите «А можно ещё и так».

Что значит "не говорю"? Я ровно это и подразумеваю. Просто на меня зачем-то тут наехали за то, что я позволил себе назвать геометрическим подходом именно геометрический. Я не то что бы против наездов, но против неадекватности в формулировках.

[VAL]

svv в сообщении #797978 писал(а):

прямые не пересекаются, что было очевидно без всяких вычислений.

Как это видно без вычислений?

[provincialka]

ewert, там средние члены канонических уравнений совпадают.

[Nemiroff]

Если вот это вот:

Ebelzider в сообщении #797746 писал(а):

$\frac{x}0$=$\frac{y-2}1$=$\frac{z+1}2$

означает, что $x=0, \dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{2}$, то я не очень понимаю суть проблемы. У вас если есть точка пересечения, то у неё $x=0$. Подставляете $0$ во вторую прямую…

[VAL]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #797995 писал(а):

Что значит "не говорю"? Я ровно это и подразумеваю. Просто на меня зачем-то тут наехали за то, что я позволил себе назвать геометрическим подходом именно геометрический. Я не то что бы против наездов, но против неадекватности в формулировках.

Старался быть предельно корректным и ни на кого не наезжать. Для этого говорил о субъективности восприятия etc.Но раз уж все обвинили в наезде, наеду по полной
Компланарность векторов - понятия из алгебры. То, что в геометрии используют аппарат линейной алгебры, не делает его геометрией.
Плоскость - объект сугубо геометрический. Значит, и уравнение плоскости ближе к геометрии, чем чистая компланарность векторов. Я понимаю, что выводе уравнения, все равно не избежать алгебры. Но тут уж ничего не поделаешь, условие изначально сформулировано на языке аналитической геометрии, а она изначально использует методы алгебры.

PS: Кстати, я не понял, о каких векторах нормали Вы говорите при проверке прямых на скрещивание? Достаточно найти смешанное произведение (а еще проще ранг матрицы) направляющих векторов и вектора-моста. Причем тут нормали?

Бедный ТС! А ведь мы с ним были уже у цели...

[Ebelzider]

VAL в сообщении #797915 писал(а):

Ebelzider в сообщении #797913 писал(а):

VAL в сообщении #797908 писал(а):

Итак, у нас две пространственные прямые. Каждая из них задана точкой и вектором. Можете указать эти точки и эти векторы?

Ну дык это
1) M(0;2;-1) a{0;1;2}
2) M(-3;2;0) a{3;1;-1}

Отлично! Только почему у Вас разные точки и разные векторы одинаково называются?
А можете составить уравнение плоскости (проще всего параметрическое), проходящее через вторую точку $M$, используя в качестве направляющих векторов оба вектора $a$.

А вот это не могу сделать

[VAL]

Ebelzider в сообщении #798221 писал(а):

VAL в сообщении #797915 писал(а):

Ebelzider в сообщении #797913 писал(а):

Ну дык это
1) M(0;2;-1) a{0;1;2}
2) M(-3;2;0) a{3;1;-1}

Отлично! Только почему у Вас разные точки и разные векторы одинаково называются?
А можете составить уравнение плоскости (проще всего параметрическое), проходящее через вторую точку $M$, используя в качестве направляющих векторов оба вектора $a$.

А вот это не могу сделать

А в чем проблема? Векторы есть, точка тоже. Берем и выписываем:

$$\left\{\begin{array}{lcrcrcr} x&=&-3&+&3u\\ y&=&2&+&u&+&v\\ z&=&&-&u&+&2v \end{array}\right. $$

Эта плоскость по построению содержит вторую прямую. Осталось проверить, содержит ли она первую (тогда это ответ), либо параллельна ей (тогда решений нет).

[gris]

Мне кажется, что там не минус один в самом крайнем знаменателе, а просто один. Опечатка в задании?
Почему сразу не начать с первого вопроса? Привести к параметрическому виду и посмотреть систему. А если точки нет и прямые непараллельны, о чём ТС сказал, то и плоскости быть не может. А если точка есть, то от неё и параметрическое уравнение сразу записывается. Впрочем, наверное, я чего-то не так понял.

[Nemiroff]

gris в сообщении #798345 писал(а):

Почему сразу не начать с первого вопроса?

Вот именно. Я же сказал, подставить $0$, понять, что точка есть $(0,3,-1)$, и увидеть, что она не подходит. Так что, либо в задании ошибка, либо ответ: не пересекаются, и плоскости нету.

[VAL]

Nemiroff в сообщении #798348 писал(а):

gris в сообщении #798345 писал(а):

Почему сразу не начать с первого вопроса?

Вот именно. Я же сказал, подставить $0$, понять, что точка есть $(0,3,-1)$, и увидеть, что она не подходит. Так что, либо в задании ошибка, либо ответ: не пересекаются, и плоскости нету.

То, что пишете Вы, не сразу понимаю даже я, человек в аналитической геометрии достаточно искушенный.
Поэтому сильно сомневаюсь, что ТС Вас поймет

Понятно,что, решить эту простейшую задачку можно многими способами:

1) выяснить, что ранг матрицы

$$\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\3&1&-1\\-3&0&1\end{array}\right)$$

равен трем и, следовательно, прямые скрещиваются;

2) заметить, что первая прямая лежит в плоскости $yOz$, а вторая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой;

3) тупо написать общее уравнение плоскости, подставить в него по две точки с каждой прямой и убедиться, что получившаяся система несовместна.

И т. д. И т. п.

Понятно, что второй метод ведет к цели быстрее, чем, например, третий.
Но это не значит, что он лучший: вдруг в следующей задаче ни одна из прямых не будет лежать в координатной плоскости?

Теперь о том, чего я не понимаю.
Я не понимаю, почему предложенный мной способ решения (вполне общий, и не слишком громоздкий: параметрическое уравнение плоскости, содержащей данные прямые или параллельной одной из них, выписывается без вычислений) встречен "местной общественностью буквально "в штыки"

[Nemiroff]

VAL в сообщении #798421 писал(а):

То, что пишете Вы, не сразу понимаю даже я, человек в аналитической геометрии достаточно искушенный.

Хм.
Вот это: $x=0, \dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ — одна из прямых. На ней $x=0$. Поэтому, если прямые пересекаются, то у точки пересечения $x=0$.
Вот это: $\dfrac{x+3}3=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z}{-1}$ — вторая прямая. Подставляем в неё $x=0$. Получаем точку $(0,3,-1)$.
Проверяем, что эта точка не принадлежит первой прямой.
Странно, что получилось непонятно.

VAL в сообщении #798421 писал(а):

Но это не значит, что он лучший: вдруг в следующей задаче ни одна из прямых не будет лежать в координатной плоскости?

Он лучше в том смысле, в котором частный способ лучше общего — общий, и ежу понятно, сойдется, а над частным чуть-чуть подумал и получил ответ красиво и быстро.
Общий способ, с другой стороны, тем и хорош, что универсален, а потому пригоден для преподавания. Но если сразу видна дырка в заборе, зачем идти за автогеном?

[VAL]

Nemiroff в сообщении #798426 писал(а):

VAL в сообщении #798421 писал(а):

То, что пишете Вы, не сразу понимаю даже я, человек в аналитической геометрии достаточно искушенный.

Хм.
Вот это: $x=0, \dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ — одна из прямых. На ней $x=0$. Поэтому, если прямые пересекаются, то у точки пересечения $x=0$.
Вот это: $\dfrac{x+3}3=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z}{-1}$ — вторая прямая. Подставляем в неё $x=0$. Получаем точку $(0,3,-1)$.
Проверяем, что эта точка не принадлежит первой прямой.
Странно, что получилось непонятно.

Спасибо за разъяснения!
Правда, я не утверждал, что мне непонятно. Я написал "не сразу понимаю".
А чтобы не было сомнений, что, все же, понимаю, изложил этот способ под номером 2

Цитата:

VAL в сообщении #798421 писал(а):

Но это не значит, что он лучший: вдруг в следующей задаче ни одна из прямых не будет лежать в координатной плоскости?

Он лучше в том смысле, в котором частный способ лучше общего — общий, и ежу понятно, сойдется, а над частным чуть-чуть подумал и получил ответ красиво и быстро.
Общий способ, с другой стороны, тем и хорош, что универсален, а потому пригоден для преподавания. Но если сразу видна дырка в заборе, зачем идти за автогеном?

Это зависит от целей.
Если нам надо преодолеть забор - одно дело.
А если освоить автоген - другое.

(Оффтоп)

Вспомнился рассказ одного коллеги. Он (как и я) турист-водник.
Как-то они шли (на байдарках) допоздна. Уже стемнело, а мест, где можно разбить лагерь и заночевать, все не было. Наконец, нашли (практически на ощупь) участок берега, пригодный для ночлега . Только стали выгружаться, наткнулись на сетку-рабицу, растянутую вдоль берега. Посветили фонариком - за сеткой относительно ровная поляна, где можно поставить палатки, и никаких объектов, оправдывающих назначение сетки. Плыть дальше нет сил, хочется спать, да и неизвестно, будет ли еще поблизости место для ночлега. Достали кусачки, проделали в сетке дыру, протащили туда свои вещи...
Утром проснулись, высунулись из палаток: вдоль берега небольшой участок сетки, слева и справа - свободный проход, а в середине сетки большая дыра.