Вавилонская башня 2.0

[Sender]

Хм, представьте себе каркасную конструкцию в виде правильного тетраэдра, рёбра которого представляют собой тонкие балки. Пусть его основание горизонтально, а вершины основания опираются на верхние вершины трёх нижележащих тетраэдров. Тогда нагрузка, создаваемая верхним тетраэдром, вполне себе равномерно распределится между тремя нижележащими, верно? Пусть теперь каждая вершина основания каждого из нижележащих тетраэдров покоится на вершине своего тетраэдра, лежащего ещё этажом ниже, и т.д.(будем считать, что все рёбра достаточно тонкие, чтобы проблем с размещением не возникало). Тогда на $n$-ом сверху "этаже" будет $3^{n-1}$ тетраэдров, которые примут на себя вес вышележащих $\frac{1}{2}(3^n-1)$ тетраэдров. Каждый из них должен будет выдержать нагрузку ни много ни мало $\frac{P}{2}(3-3^{1-n})$, где $P$ - вес одного тетраэдра.

[DimaM]

Sender в сообщении #798147 писал(а):

Хм, представьте себе каркасную конструкцию в виде правильного тетраэдра, рёбра которого представляют собой тонкие балки. Пусть его основание горизонтально, а вершины основания опираются на верхние вершины трёх нижележащих тетраэдров. Тогда нагрузка, создаваемая верхним тетраэдром, вполне себе равномерно распределится между тремя нижележащими, верно?

Интуитивно кажется, что "внутренние" ребра нижних тетраэдров будут деформированы сильнее, чем "внешние". Хотя точно посчитать не возьмусь.

[Sender]

Вы хотите сказать, что сила воздействия тетраэдра на каждый из нижележащих не будет иметь строго вертикальное направление? Возьмём один тетраэдр, слегка продолжим вниз балки, идущие от верхней вершины, вниз, за точки пересечения с балками нижней плоскости и поместим тетраэдр с "ножками" на идеально гладкий лёд, приложив к верхней вершине вертикально действующую силу надлежащей величины. Ножки слегка разъедутся, и он войдёт в положение равновесия. Теперь уберём лёд и поместим в точках соприкосновения ножек с ним нижележащие тетраэдры.
Наверное, нагляднее было бы нарисовать, но лень.

[DimaM]

Sender в сообщении #798210 писал(а):

Теперь уберём лёд и поместим в точках соприкосновения ножек с ним нижележащие тетраэдры.

По-моему, если "убрать лед и поместить тетраэдры", деформации и напряжения будут другими, чем в случае, если сразу поместить тетраэдры.

[Sender]

Или вот вариант без изменения конструкции тетраэдра: мы можем подвесить его на трёх одинаковых вертикальных нитях. В чём отличие сил, действующих на тетраэдр, в обоих случаях?

[zubik67]

А вообще-то лед под лучами солнышка на такой высоте спокойно испарится.

[DimaM]

Sender в сообщении #798222 писал(а):

Или вот вариант без изменения конструкции тетраэдра: мы можем подвесить его на трёх одинаковых вертикальных нитях. В чём отличие сил, действующих на тетраэдр, в обоих случаях?

Придумать, конечно, можно 100500 различных вариантов, вот только какое отношение они будут иметь к обсуждаемой в теме проблеме?

[Denis Russkih]

DimaM в сообщении #798150 писал(а):

Интуитивно кажется, что "внутренние" ребра нижних тетраэдров будут деформированы сильнее, чем "внешние".

Хм, а можно узнать, почему? :) Если тетраэдры правильные, приложенная сила имеет строго вертикальное направление, все рёбра тетраэдров изготовлены из одинакового материала, и все тетраэдры аккуратно размещены, то с чего бы одним рёбрам нижних тетраэдров испытывать большие нагрузки, чем другим?..



По моему скромному мнению, если на стержни A, B и С приходится одинаковая нагрузка, то и все боковые рёбра нижних тетраэдров должны испытывать равные нагрузки. Разве нет?

[DimaM]

Denis Russkih в сообщении #798337 писал(а):

По моему скромному мнению, если на стержни A, B и С приходится одинаковая нагрузка, то и все боковые рёбра нижних тетраэдров должны испытывать равные нагрузки. Разве нет?

По моему мнению, деформации на левой и правой картинках будут разные.

[Denis Russkih]

DimaM в сообщении #798340 писал(а):

По моему мнению, деформации на левой и правой картинках будут разные.

А нельзя разъяснить чуть подробнее?

[Munin]

DimaM в сообщении #798340 писал(а):

По моему мнению, деформации на левой и правой картинках будут разные.

Да нет, одинаковые. Подстава здесь в другом: двумя слоями тетраэдров не обойтись, а там уже начнутся различия между внутренними и внешними тетраэдрами.

[DimaM]

Denis Russkih в сообщении #798353 писал(а):

А нельзя разъяснить чуть подробнее?

Например, на правой картинке нижние вершины верхнего тетраэдра немного разъедутся - соответственно, цветные стержни А, В и С несколько перекосятся.

[Aritaborian]

Смотрю я на эти тетраэдры и думаю: а что, если каждый из них заменить в свою очередь на четыре тетраэдра? И снова... В пределе ;-) получим пирамиду Серпинского. Может быть, эта конструкция обладает какими-нибудь нужными свойствами?

(Оффтоп)

А что, бредить так бредить ;-D

[DimaM]

Munin в сообщении #798367 писал(а):

Да нет, одинаковые.

Скорее нет, чем да. Причем еще и разные, по-моему, в зависимости от способа закрепления вертикальных стержней А, В, С.

[Munin]

На втором слое имеем 6 точек со следующими отношениями весов:

$$\begin{array}{ccccc} 1&&2&&1\\ &2&&2&\\ &&1&&\\ \end{array}$$

На третьем слое:

$$\begin{array}{ccccccc} 1&&3&&3&&1\\ &3&&6&&3&\\ &&3&&3&&\\ &&&1&&&\\ \end{array}$$

(трёхмерный аналог треугольника Паскаля)

-- 09.12.2013 21:23:01 --

Aritaborian в сообщении #798369 писал(а):

Смотрю я на эти тетраэдры и думаю: а что, если каждый из них заменить в свою очередь на четыре тетраэдра? И снова... В пределе ;-) получим пирамиду Серпинского. Может быть, эта конструкция обладает какими-нибудь нужными свойствами?

Можно, но увы, в точках A, B, C весь вес пирамиды будет опираться на три точки. Никакой материал не выдержт.

-- 09.12.2013 21:28:23 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #798372 писал(а):

(трёхмерный аналог треугольника Паскаля)

Для любителей заумностей: это заодно представления группы $SU(3)$ (приводимые: степени фундаментального представления) и количества членов соответствующих мультиплетов, например, адронов в физике элементарных частиц.