Примитивность расширения поля

[DoubleBubble]

Добрый вечер!

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей.
Условие: пусть $K := \mathbb{F}_p(x,y)$ - поле рациональных функций от $x, y$, а $k\subset K$ - его подполе, порождённое $x^p,y^p$. Докажите, что расширение $[K:k]$ - не примитивно.

Как я понял - расширение примитивно, если получено с помощью присоединения корней неприводимого многочлена, но я теряюсь, так как тут поля рациональных функций.
И ещё узнал про теорему Артина, но она тут, кажется, бесполезна.

[Xaositect]

А вы по какому учебнику занимаетесь? Обычно это называется простым расширением. А пример классический.

DoubleBubble в сообщении #797431 писал(а):

И ещё узнал про теорему Артина, но она тут, кажется, бесполезна.

Если имеется в виду теорема Артина о примитивном элементе (алгебраическое расширение $K/F$ является простым тогда и только тогда, когда промежуточных полей $K\supset E\supset F$ конечное число), то можно через нее. Можно и проще, от противного.

Надо помнить, что в $\mathbb{F}_p$ справедливо $(x+y)^p = x^p + y^p$ и $a^p = a$

[DoubleBubble]

То есть мне нужно найти такой элемент, добавив который к $k$ я получу $K$?

[DoubleBubble]

Или многочлен?

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #797823 писал(а):

Или многочлен?

Элемент. А многочлен (в смысле его коэффициенты) должны быть в $k$.
Впрочем, искать можно и многочлен. Только присоединять надо все же элемент - его корень.

[DoubleBubble]

Точнее мне нужно доказать, что такого элемента нет, ведь если он есть, то расширение примитивно.
Но как это показать?

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #797926 писал(а):

Точнее мне нужно доказать, что такого элемента нет, ведь если он есть, то расширение примитивно.
Но как это показать?

Ну так Xaositect же намекнул.

[DoubleBubble]

Все элементы поля $k$ имеют вид $a+bx^p+cy^p+dx^py^p$, так?
Верно ли то, что $a+bx^p+cy^p+dx^py^p~=a+(bx+cy)^p+(dxy)^p~=a^p+~(bx+~cy+~dxy)^p~=~(a+~bx+~cy+~dxy)^p$?
В любом случае не могу понять, в какую сторону "копать".

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #797947 писал(а):

Все элементы поля $k$ имеют вид $a+bx^p+cy^p+dx^py^p$, так?
Верно ли то, что $a+bx^p+cy^p+dx^py^p~=a+(bx+cy)^p+(dxy)^p~=a^p+~(bx+~cy+~dxy)^p~=~(a+~bx+~cy+~dxy)^p$?
В любом случае не могу понять, в какую сторону "копать".

Что касается вида элементов, не совсем. А преобразования правильные.

[DoubleBubble]

Что не так с видом?

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #797963 писал(а):

Что не так с видом?

Должны быть рациональные функции. А у Вас даже не многочлен (точнее, многочлен частного вида).

[DoubleBubble]

а, точно, тогда $\frac{P(x^p, y^p)}{Q(x^p, y^p)}$ ?

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #797971 писал(а):

а, точно, тогда $\frac{P(x^p, y^p)}{Q(x^p, y^p)}$ ?

Угу.

[DoubleBubble]

Окей, но я всё равно не вижу способа доказать, что нет соответствующего элемента.
Интуитивно, конечно, кажется, что его нет, но никаких аргументов ни "за", ни "против" не могу привести.