Период гармонических колебаний физического маятника.

[FoxTrot]

Условия:

Цитата:

Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной L и массой m c укрепленным на нем маленьким шариком радиуса r массой 2m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О, отстоящую от конца стержня на L/3. Определить период гармонических колебаний физического маятника.

Пусть стержень будет тело 1, а шарик тело 2. Начало координат в точке О
$\[\begin{array}{l} T = 2\pi \sqrt {\frac{I}{{{m_*}g{L_*}}}} \\ {m_*} = m + 2m = 3m \end{array}\]$
$\[{y_{{c_1}}} = \frac{L}{6}\quad {y_{{c_2}}} = \frac{2}{3}L + r\]$ - центры масс стержня и шарика
$\[{y_c} = \frac{{m\frac{L}{6} + 2m\left( {\frac{2}{3}L + r} \right)}}{{3m}} = \frac{{\frac{L}{6} + \frac{{4L}}{3} + 2r}}{3} = \frac{L}{2} + \frac{2}{3}r\]$ - центр масс маятника
$\[I = {I_1} + {I_2}\]$
Используем теорему Штейнера:
$\[\begin{array}{l} {I_1} = {I_{{0_1}}} + m{\left( {\frac{L}{6}} \right)^2} = \frac{{m{L^2}}}{{12}} + \frac{{m{L^2}}}{{36}} = \frac{{m{L^2}}}{9}\\ {I_2} = {I_{{0_2}}} + 2m{\left( {\frac{2}{3}L + 2r} \right)^2} = \frac{2}{5}2m{r^2} + 2m\left( {\frac{4}{9}{L^2} + \frac{8}{3}Lr + 4{r^2}} \right) = \frac{{44}}{5}m{r^2} + \frac{8}{9}m{L^2} + \frac{{16}}{3}mLr\\ I = \frac{{44}}{5}m{r^2} + m{L^2} + \frac{{16}}{3}mLr\\ T = 2\pi \sqrt {\frac{{\frac{{44}}{5}m{r^2} + m{L^2} + \frac{{16}}{3}mLr}}{{3m10\left( {\frac{L}{2} + \frac{2}{3}r} \right)}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{\frac{{44}}{5}{r^2} + {L^2} + \frac{{16}}{3}Lr}}{{30\left( {\frac{L}{2} + \frac{2}{3}r} \right)}}} \end{array}\]$

Таким образом я вроде бы и пришел к ответу, но он получился громоздким. Я раньше таких задач не решал и не знаю, может оно и нормально, но все предыдущие задачи были, если можно так выразиться, с более лаконичными ответами. Проверьте, пожалуйста, решение и укажите на ошибки, если они есть.

[warlock66613]

За правильность решения не скажу, ибо хотя и не вижу ошибок, но я в этом не особо хорош.
Единственное - вы $g$ потеряли, но это скорее описка, а не ошибка.
(К тому же в серьёзной физике терять по дороге константы - это вообще признак мастерства. Настоящий физик не только $g$, но и $L$ потерял бы.)

Но насчёт громоздкости пара моментов.
Во-первых, вы недоупростили немножко. Хотя бы от дробей в знаменателе можно избавиться - там же множитель $30$. Да от тройки в $16 \over 3$ можно, хотя с этим выигрыш спорный, так как $44$ на неё умножится. При этом $2\pi$ лучше не трогать (под корень не вносить) и оставить как есть - они сами по себе.
Во вторых,

FoxTrot в сообщении #797631 писал(а):

укрепленным на нем маленьким шариком радиуса r

написано, что шарик маленький. По-идее, это значит, что $r \ll L$, то есть членами $\left({r \over L}\right)^2$ можно пренебречь (по сравнению с единицей и $\left({r \over L}\right)$). Таким образом, можно выкинуть самый страшный член с ${44} \over 5$. Хотя по хорошему в таком случае от знаменателя надо совсем избавляться (ведь ${1 \over {1 + \alpha}} = 1 - \alpha$, если $\alpha \ll 1$).

Ну и в-третьих, (даже если не пренебрегать высшими степенями $\left({r \over L}\right)$, всё равно) раз мы знаем что шарик маленький, имеет смысл (на мой взгляд) разбить подкоренное выражение на 3 множителя: "большое число" (типа ${27} \over 8$, ну или что там получится), безразмерный множитель порядка единицы, зависящий от отношения $\left({r \over L}\right)$ - то что останется от дроби после выноса других частей, и размерный множитель ($L$, а если вставить пропавшую $g$, то $L \over g$). Тогда будет явно видна структура результата и зависимость от каждого из исходных данных.

[Oleg Zubelevich]

FoxTrot в сообщении #797631 писал(а):

Определить период гармонических колебаний физического маятника.

Диковато звучит. А это в каком вузе так задачи формулируют,если не секрет?

[FoxTrot]

warlock66613 в сообщении #797653 писал(а):

За правильность решения не скажу, ибо хотя и не вижу ошибок, но я в этом не особо хорош.
Единственное - вы $g$ потеряли, но это скорее описка, а не ошибка...

g я не потерял, а принял за 10, отсюда и 30 в знаменателе. В остальном спасибо, что посмотрели.

Oleg Zubelevich в сообщении #797659 писал(а):

Диковато звучит.

Ну тут моя вина. В оригинале на самом деле нет слова "физического". А ВУЗ не могу сказать, меня знакомый в интернете попросил решить, а я самоуверенно согласился.

[warlock66613]

FoxTrot в сообщении #797763 писал(а):

g я не потерял, а принял за 10, отсюда и 30 в знаменателе

Нельзя так делать.
Во-первых, задачу надо решать в общем виде. Нашли формулу конечную - тогда подставлять числа. Все сразу. А не $g$ сначала, $L$ потом. К тому же почему $10$, почему не $9.8$? И где вообще сказано, что маятник на Земле? Может быть он на Луне.
Во-вторых, $g$ никак нельзя принимать за $10$ (равно как и за $9.8$, и за любое другое число). $g = 10\,\text{м}/\text{с}^2$, и $\text{м}/\text{с}^2$ отсюда никак нельзя выкидывать. Хотите подставить - тогда подставляйте с единицами измерения.