Задача по теории Галуа

[DoubleBubble]

Да, с этой частью всё понятно. А что теперь с изоморфностью группы Галуа этого пространства $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$?
Верно ли я понимаю, что у этого пространства есть дуальный базис, размерность которого также равна 3 и он будет базисом группы Галуа?

[nnosipov]

DoubleBubble в сообщении #797314 писал(а):

А что теперь с изоморфностью группы Галуа этого пространства $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$?

А много ли Вы знаете групп порядка 3?

[DoubleBubble]

Всё понял, спасибо большое!

И, чтобы не создавать отдельный топик ради простого вопроса:
Есть расширение $\mathbb{K}:=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Нужно доказать, что $[\mathbb{K}:\mathbb{Q}]$ - расширение Галуа.

$\mathbb{K}$ будет полем разложения многочлена $(x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)=x^6-10x^4+31x^2-30$.
Как видно - этот многочлен не содержит кратных корней, значит это расширение сепарабельно, а так как все корни многочлена содержатся в $\mathbb{K}$, то расширение нормальное. А значит это расширение Галуа.

Всё ли верно? А то на фоне других задач эта кажется слишком простой.

[nnosipov]

DoubleBubble в сообщении #797328 писал(а):

Всё ли верно?

Не вижу ошибки.

[DoubleBubble]

А если задача аналогична исходной, но изоморфность должна быть к $S_3$?
Ведь $|S_3|=6$. Даже если дискриминант будет меньше нуля, то один корень будет назависимым, а два других сопряженными. Тогда мощность группы Галуа будет слишком большой. Разве что если комплексные корни будут чисто мнимым. Но тогда уравнение получается 4й степени.

[nnosipov]

DoubleBubble в сообщении #797336 писал(а):

Тогда мощность группы Галуа будет слишком большой.

Для кубического уравнения она либо 3 (когда дискриминант $D$ есть точный квадрат), либо 6 (когда дискриминант $D$ не является точным квадратом).

[DoubleBubble]

Не могу понять каким, тогда будет базис пространства. Видимо $1, x_1, x_1^2, x_2, x_2^2, x_3, x_3^2$ - содержит лишний элемент. Хотя, кажется, он вообще не верный.

[nnosipov]

Сначала к $\mathbb{Q}$ надо присоединить $\sqrt{D}$, а затем --- один из корней данного кубического многочлена. Получим $\mathbb{Q}(\sqrt{D},x_1)$. Степень этого расширения над $\mathbb{Q}$ будет равна 6.

[Xaositect]

Тут полезно подумать о структуре нашего расширения $K$. Из существования цепочки $S_3\supset A_3\supset E$ следует, что в нем будет подрасширение размерности 2 ($[S_3:A_3] = 2$). Любое такое расширение имеет вид $\mathbb{Q}(\sqrt s)$. А дальше уже разобранный случай - $K$ над $\mathbb{Q}(\sqrt s)$ будет иметь группу Галуа $A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. То есть дискриминант не является квадратом в $\mathbb{Q}$, но является в $\mathbb{Q}(\sqrt s)$, значит, в качестве $s$ можно как раз дискриминант и взять.

[DoubleBubble]

А, точно - теорема о башне!
Расширение $[\mathbb{Q}(\sqrt{D}): \mathbb{Q}]$ имеет степень 2.
А $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ расширяется корнями многочлена давая расширение степени 3 над $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$.
Ну и уже по теореме о башне получаем, что итоговое расширение имеет степень 6 над $[math]$\mathbb{Q}$.

[Xaositect]

Вообще-то $\mathbb{K} = \mathbb{Q}(x_1,x_2,x_3)$. По определению поля разложения.

[DoubleBubble]

Извините, в голове одно было, а написал другое. Исправился. Теперь верно?

[Xaositect]

Верно.

[DoubleBubble]

Извините, а какое расширение называется примитивным? Не могу найти определения в сети.

[DoubleBubble]

Нашел определение. Но как показать, что расширение не примитивно? Показать, что многочлен с помощью которого оно получено - приводим над исходным полем?