2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 15:24 
Аватара пользователя
Да, с этой частью всё понятно. А что теперь с изоморфностью группы Галуа этого пространства $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$?
Верно ли я понимаю, что у этого пространства есть дуальный базис, размерность которого также равна 3 и он будет базисом группы Галуа?

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 15:28 
DoubleBubble в сообщении #797314 писал(а):
А что теперь с изоморфностью группы Галуа этого пространства $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$?
А много ли Вы знаете групп порядка 3?

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 15:42 
Аватара пользователя
Всё понял, спасибо большое!

И, чтобы не создавать отдельный топик ради простого вопроса:
Есть расширение $\mathbb{K}:=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$. Нужно доказать, что $[\mathbb{K}:\mathbb{Q}]$ - расширение Галуа.

$\mathbb{K}$ будет полем разложения многочлена $(x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)=x^6-10x^4+31x^2-30$.
Как видно - этот многочлен не содержит кратных корней, значит это расширение сепарабельно, а так как все корни многочлена содержатся в $\mathbb{K}$, то расширение нормальное. А значит это расширение Галуа.

Всё ли верно? А то на фоне других задач эта кажется слишком простой.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 15:46 
DoubleBubble в сообщении #797328 писал(а):
Всё ли верно?
Не вижу ошибки.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 15:57 
Аватара пользователя
А если задача аналогична исходной, но изоморфность должна быть к $S_3$?
Ведь $|S_3|=6$. Даже если дискриминант будет меньше нуля, то один корень будет назависимым, а два других сопряженными. Тогда мощность группы Галуа будет слишком большой. Разве что если комплексные корни будут чисто мнимым. Но тогда уравнение получается 4й степени.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:03 
DoubleBubble в сообщении #797336 писал(а):
Тогда мощность группы Галуа будет слишком большой.
Для кубического уравнения она либо 3 (когда дискриминант $D$ есть точный квадрат), либо 6 (когда дискриминант $D$ не является точным квадратом).

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:14 
Аватара пользователя
Не могу понять каким, тогда будет базис пространства. Видимо $1, x_1, x_1^2, x_2, x_2^2, x_3, x_3^2$ - содержит лишний элемент. Хотя, кажется, он вообще не верный.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:20 
Сначала к $\mathbb{Q}$ надо присоединить $\sqrt{D}$, а затем --- один из корней данного кубического многочлена. Получим $\mathbb{Q}(\sqrt{D},x_1)$. Степень этого расширения над $\mathbb{Q}$ будет равна 6.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:26 
Аватара пользователя
Тут полезно подумать о структуре нашего расширения $K$. Из существования цепочки $S_3\supset A_3\supset E$ следует, что в нем будет подрасширение размерности 2 ($[S_3:A_3] = 2$). Любое такое расширение имеет вид $\mathbb{Q}(\sqrt s)$. А дальше уже разобранный случай - $K$ над $\mathbb{Q}(\sqrt s)$ будет иметь группу Галуа $A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. То есть дискриминант не является квадратом в $\mathbb{Q}$, но является в $\mathbb{Q}(\sqrt s)$, значит, в качестве $s$ можно как раз дискриминант и взять.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:33 
Аватара пользователя
А, точно - теорема о башне!
Расширение $[\mathbb{Q}(\sqrt{D}): \mathbb{Q}]$ имеет степень 2.
А $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ расширяется корнями многочлена давая расширение степени 3 над $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$.
Ну и уже по теореме о башне получаем, что итоговое расширение имеет степень 6 над $[math]$\mathbb{Q}$.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:40 
Аватара пользователя
Вообще-то $\mathbb{K} = \mathbb{Q}(x_1,x_2,x_3)$. По определению поля разложения.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:49 
Аватара пользователя
Извините, в голове одно было, а написал другое. Исправился. Теперь верно?

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:50 
Аватара пользователя
Верно.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 16:54 
Аватара пользователя
Извините, а какое расширение называется примитивным? Не могу найти определения в сети.

 
 
 
 Re: Задача по теории Галуа
Сообщение07.12.2013, 17:56 
Аватара пользователя
Нашел определение. Но как показать, что расширение не примитивно? Показать, что многочлен с помощью которого оно получено - приводим над исходным полем?

 
 
 [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group