Задача з параметром

[[ws]woland]

для каких а корни уравнения

$$ x^3 - 12*x^2 + (2*a^2 + 2*a + 1)*x - a^2 - 6*a - 2 = 0 $$

будет иметь только натуральные корни

[Lion]

Это уравнение надо рассмотреть как квадратное относительно а и решить (корни должны хорошо считаться). Ну а дальше очевидно.

[[ws]woland]

ну попробуй

[[ws]woland]

я пробовал, получается надо рассмотреть 24 варианта и там полный геморрой!!! надо как то по-другому

[worm2]

Если трактовать "будет иметь только натуральные корни" как "все три корня (возможно, с учётом кратности) действительны и натуральны", то, похоже, не существует таких a.

(1) Пусть 3 корня --- p, q и r --- натуральные числа. По теореме Виета имеем:

$$\left\{\begin{array}{lcl} p+q+r&=&12\\ pq+qr+pr&=&2a^2+2a+1\\ pqr&=&a^2+6a+2 \end{array}\right.$$

(2) Вычитая из удвоенного 3-го уравнения 2-е, имеем: 10a+3 --- целое число, откуда a = k/10, где k --- целое. Подставляя во 2-е уравнение k/10 вместо a, получаем: 100 | 2k(k+10). Несложно видеть, что отсюда следует, что 10 | k, т.е. a --- целое.

(3) Из лёгкого неравенства $(p+q+r)^2 \geqslant 3(pq+qr+pr)$ получаем, что $144 \geqslant 6a^2+6a+3$, откуда $-5 \leqslant a \leqslant 4$.

(4) Нетрудно видеть, что для натуральных p, q, r с суммой 12 их произведение pqr может принимать значения, не меньшие 10 и не большие 64. Решая систему неравенств $10 \leqslant a^2+6a+2 \leqslant 64$, получаем: либо $-11 \leqslant a \leqslant -8$, либо $2 \leqslant a \leqslant 5$.

(5) Объединяя оценки (3) и (4), получаем для a всего три возможных значения: 2, 3 и 4. Тут уж не грех перебрать их все и проверить, что ни одно из них не подходит.

[[ws]woland]

Почему, же , при а = 4 корни 2,3,7

[незваный гость]

Замените $x \to y +1$, тогда вопрос станет: при каких $a$ соответствующее уравнение имеет целые неотрицательные корни. Раскрываем скобки, имеем: $y^3 - 9y^2+(2a^2+2a-20)y-(12+4a-a^2)=0$.

1) Произведение корней равно последнему коэффициенту с обратным знаком, значит $12+4a - a^2 \ge 0 \Leftrightarrow$ $-2 \le a \le 6$.

2) Коэффициент при $y$ — симметрический многочлен второго порядка, откуда $2a^2+2a-20 \ge 0 \Rightarrow$ (с учетом (1)) $\frac{\sqrt{41}-1}{2} \le p \le 6$.

3) $2 (12+4a - a^2) + (2a^2+2a-2) = 4 + 10 a$, т.е. одновременно оба коэффициента могут принимать целые значения только в рациональных точках.

4) $12+4a - a^2$ принимает целые значения только в целых точках (из рациональных).

5) Итого, нам осталось рассмотреть $a \in \{3,4,5,6\}$. Если подсчитать сумму квадратов корней (как функцию коэффициентов), то $6$ можно отбросить, впрочем как и $5$ — в последнем случае корни должны быть равны ($y$) $0, 0, 1$, что явно не работает.

6) Осталось 3 и 4, что совсем легко проверить. При $a = 3$ произведение корней ($x$) равно $29$, Что означает корни $1, 1, 29$. И остается $a=4$.

Грустно это. И, несомненно, можно упростить.

[worm2]

[ws]woland писал(а):

Почему, же , при а = 4 корни 2,3,7

М-да, просмотрел это решение. Ошибся в вычислениях.

[[ws]woland]

worm2 объясни строку "(4) Нетрудно видеть, что для натуральных p, q, r с суммой 12 их произведение pqr может принимать значения, не меньшие 10", почему не меньше 10? Перебором?

[Руст]

Возможно так проще.
Подставим x=y+4. Тогда относительно p,q,r получается система
p+q+r=0,
pq+qr+rp=2a(a+1)-47,
pqr=a(3a+2)-126.
Из первых двух получаем, что двое из них одного знака, пусть p,q и следовательно
$2(p^2+pq+r^2)=p^2+q^2+r^2=95-(2a+1)^2$.
Отсюда -5<=a<=4. Если |2a+1| отлична от 3 и 9 у правой части появляется простой делитель вида 6k-1 в первой степени, что невозможно для левой части. В случае 3 получаем pqr=+-42, что не соответствует 3-ему уравнению. Аналогично исключается случай a=-5.

[worm2]

[ws]woland писал(а):

worm2 объясни строку "(4) Нетрудно видеть, что для натуральных p, q, r с суммой 12 их произведение pqr может принимать значения, не меньшие 10", почему не меньше 10? Перебором?

Ну да, всевозможных способов разложить 12 на 3 сомножителя не так уж много.
А можно сначала рассмотреть задачу поиска $m=\min\limits_{a+b=c;\ a, b \in \mathbb{N}} ab$, "сразу" видно, что m = c-1, дальше аналогично находим $\min\limits_{a+b+c=d;\ a, b, c \in \mathbb{N}} abc = d-2$.