Замените

, тогда вопрос станет: при каких

соответствующее уравнение имеет целые неотрицательные корни. Раскрываем скобки, имеем:

.
1) Произведение корней равно последнему коэффициенту с обратным знаком, значит

.
2) Коэффициент при

— симметрический многочлен второго порядка, откуда

(с учетом (1))

.
3)

, т.е. одновременно оба коэффициента могут принимать целые значения только в рациональных точках.
4)

принимает целые значения только в целых точках (из рациональных).
5) Итого, нам осталось рассмотреть

. Если подсчитать сумму квадратов корней (как функцию коэффициентов), то

можно отбросить, впрочем как и

— в последнем случае корни должны быть равны (

)

, что явно не работает.
6) Осталось 3 и 4, что совсем легко проверить. При

произведение корней (

) равно

, Что означает корни

. И остается

.
Грустно это. И, несомненно, можно упростить.