Определение дифференциальных уравнений.

[VladTK]

Здраствуйте.

У меня возник вопрос, связанный с дифференциальными уравнениями (как с обычными так и с частными производными).

Известно, что если сумма решений дифференциального уравнения является его решением (принцип суперпозиции), то уравнение является линейным. Т.е. принцип суперпозиции определяет вид уравнения.

А если нам известно, что некоторая заданная функция двух решений уравнения также является его решением

$$ u_3=f(u_1,u_2) $$

где $u_1, u_2, u_3$ - решения дифференциального уравнения, то что мы можем сказать о его виде? Где про это можно почитать?

[Vince Diesel]

VladTK в сообщении #794428 писал(а):

Известно, что если сумма решений дифференциального уравнения является его решением (принцип суперпозиции), то уравнение является линейным.

Оговорки какие-то нужны. Вот, например, решения этого $(u')^2=0$ удовлетворяют принципу суперпозиции.

А для произвольной функции не факт, что будут какие-то хорошие общие утверждения. Линейность здесь может быть выделена тем, что операция дифференцирования линейна. Скажем, заменим сумму на произведение: $f(x,y)=xy$ и рассмотрим уравнение $(u')^2+u^2(1-u)^2=0$. У него два решения, $u_1\equiv0$ и $u_2\equiv1$. Их произведения тоже решения. И что хорошего тут можно сказать?

[bayak]

VladTK в сообщении #794428 писал(а):

Известно, что если сумма решений дифференциального уравнения является его решением (принцип суперпозиции), то уравнение является линейным.

А если корень квадратный из суммы (разности) квадратов его решений является решением, то что можно сказать об уравнении?

[пианист]

Есть теорема Ли-Вессио: при каких условиях общее решение ОДУ $\frac {du^i} {dt} = f^i (t,u), i=1,..,n$ представляется в виде $u = F(\psi ^1,..,\psi ^m, C^1,..,C^n)$, где $C^1,..,C^n$ - произвольные константы, $\psi ^1 (t),..,\psi ^m (t)$ - набор частных решений ОДУ (фундаментальная система решений).
Тривиальный случай применения теоремы - линейное ОДУ, известный нетривиальный - уравнение Риккати.

[hurtsy]

VladTK в сообщении #794428 писал(а):

Известно, что если сумма решений дифференциального уравнения является его решением (принцип суперпозиции), то уравнение является линейным. Т.е. принцип суперпозиции определяет вид уравнения.

А если нам известно, что некоторая заданная функция двух решений уравнения также является его решением

$$ u_3=f(u_1,u_2) $$

где $u_1, u_2, u_3$ - решения дифференциального уравнения, то что мы можем сказать о его виде?

Вы превзошли самоё

Википедия писал(а):

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями.

Суперпозиция всего лишь заданная $f(u_1,u_2)$ (конкретизация, частный случай). То что вы получили от участников в качестве контрпримеров, далеко не исчерпывает всех возможностей. Как говорит известный ЗУ "Учите матчасть.", ну а дискуссии потом. С уважением.

[VladTK]

Vince Diesel в сообщении #794463 писал(а):

Оговорки какие-то нужны. Вот, например, решения этого $(u')^2=0$ удовлетворяют принципу суперпозиции...

Да, наверное еще следует добавить линейную независимость решений. Вообще-то ясно, что задав условие на решения в виде принципа суперпозиции, мы не способны восстановить само уравнение. Но, по крайней мере, мы как-то ограничиваем его вид.

Vince Diesel в сообщении #794463 писал(а):

...А для произвольной функции не факт, что будут какие-то хорошие общие утверждения. Линейность здесь может быть выделена тем, что операция дифференцирования линейна. Скажем, заменим сумму на произведение: $f(x,y)=xy$ и рассмотрим уравнение $(u')^2+u^2(1-u)^2=0$. У него два решения, $u_1\equiv0$ и $u_2\equiv1$. Их произведения тоже решения. И что хорошего тут можно сказать?

Как минимум то что решения образуют замкнутое множество, относительно операции $f$. Насчет общих утверждений Вы возможно правы, но чем черт не шутит.

bayak в сообщении #794484 писал(а):

А если корень квадратный из суммы (разности) квадратов его решений является решением, то что можно сказать об уравнении?

Не знаю. В том и вопрос.

пианист в сообщении #794530 писал(а):

Есть теорема Ли-Вессио: при каких условиях общее решение ОДУ $\frac {du^i} {dt} = f^i (t,u), i=1,..,n$ представляется в виде $u = F(\psi ^1,..,\psi ^m, C^1,..,C^n)$, где $C^1,..,C^n$ - произвольные константы, $\psi ^1 (t),..,\psi ^m (t)$ - набор частных решений ОДУ (фундаментальная система решений).
Тривиальный случай применения теоремы - линейное ОДУ, известный нетривиальный - уравнение Риккати.

Спасибо - посмотрю.

hurtsy в сообщении #794607 писал(а):

Суперпозиция всего лишь заданная $f(u_1,u_2)$ (конкретизация, частный случай). То что вы получили от участников в качестве контрпримеров, далеко не исчерпывает всех возможностей. Как говорит известный ЗУ "Учите матчасть.", ну а дискуссии потом. С уважением.

Дык, какую "матчасть" учить-то?

[пианист]

VladTK
Если что, почитать можно здесь: https://archive.org/details/vorlesungenber00liesuoft, стр. 799.
Ни английского, ни русского текста по этому вопросу, к сожалению, не знаю, тема, похоже, за пределами математического мейнстрима.

[Vince Diesel]

Теорема Ли упоминается в книге Босс В., "Лекции по математике. Уравнения математической физики" на с. 81.

Но тут то обратная задача. Функция задана (скажем, произведение), что можно сказать о виде ДУ?

[shwedka]

Попробуйте сначала разобраться с частным случаем. Верно или неверно утверждение:
Если у уравнения (или системы) $y=f(x,y)$решения образуют линейное пространство, то уравнение линейное. Это совсем не сложно.
А техникой и идеями обогатитесь.

[пианист]

Vince Diesel в сообщении #794875 писал(а):

Теорема Ли упоминается в книге Босс В., "Лекции по математике. Уравнения математической физики" на с. 81.

Да, точно, есть. Босс молодец, зря его ругают. Но только без вывода, в таком виде есть и у Ибрагимова, в Азбуке группового анализа, а у Ли с подробным выводом.

Vince Diesel писал(а):

Но тут то обратная задача. Функция задана (скажем, произведение), что можно сказать о виде ДУ?

Да, ВГЛ на этот вопрос не отвечает. Но можно попробовать взять за основу саму технику, типо функция ЕМНИС должна там получаться из инварианта соответствующей группы, отсюда и танцевать.

[Munin]

пианист
А как это так получилось, что теорема Ли здесь упоминается, а группы Ли - нет? Неужели эти $u$ не будут образовывать группу Ли?

[пианист]

Munin
По этой теореме чтобы у диффура была фундаментальная система, правая часть должна иметь вид
$f^i (t,u) = g^\alpha (t) \xi_\alpha ^i (u)$,
где $X_\alpha = \xi_\alpha ^i \frac \partial {\partial u ^i}$ образуют алгебру Ли.
Ну т.е. группа Ли, да, присутствует. Для Риккати, скажем, это будет проективная группа $\frac \partial {\partial u}, u\frac \partial {\partial u}, u^2\frac \partial {\partial u}$.

[Munin]

Спасибо. А то уж я подумал, что может, рассматривается ненепрерывный случай (ужас-ужас-ужас).

[VladTK]

пианист в сообщении #794835 писал(а):

VladTK
Если что, почитать можно здесь: https://archive.org/details/vorlesungenber00liesuoft, стр. 799.
Ни английского, ни русского текста по этому вопросу, к сожалению, не знаю, тема, похоже, за пределами математического мейнстрима.

Н-да, с немецким у меня туго. А книжка П.Олвер "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям" http://alexandr4784.narod.ru/olwer.html не поможет?

shwedka в сообщении #794903 писал(а):

Попробуйте сначала разобраться с частным случаем. Верно или неверно утверждение:
Если у уравнения (или системы) $y=f(x,y)$решения образуют линейное пространство, то уравнение линейное. Это совсем не сложно.
А техникой и идеями обогатитесь.

Как я понимаю - утверждение верно. Пусть дифференциальное уравнение записано в виде

$$F(x,y,y',y'',...)=0$$

или в операторном виде

$$\hat{F} y=0$$

и его частные решения есть $y_i$ ($i=1..n$)

$$\hat{F} y_i=0$$

Тогда из того факта, что линейная комбинация частных решений есть опять решение

$$y=\sum \limits_{i=1}^{n} C_i y_i$$

следует, что оператор является линейным

$$\hat{F} \sum \limits_{i=1}^{n} C_i y_i = \sum \limits_{i=1}^{n} C_i \hat{F} y_i$$

а значит и уравнение линейно.

[shwedka]

Я и не уверждала, что это непросто,
однако в Вашем заявлении

VladTK в сообщении #795263 писал(а):

следует, что оператор является линейным

$$\hat{F} \sum \limits_{i=1}^{n} C_i y_i = \sum \limits_{i=1}^{n} C_i \hat{F} y_i$$

отмеченное следует
нужно формально доказать. Вы пока его лишь провозгласили. Сказать 'следует' - это не всегда еще 'доказать'.
В обратную сторону, то есть, что из линейности оператора следует линейность множества решений, конечно все по-детски просто. Но я спросила в ''эту '
сторону: как доказать, что из линейности пространства решений следует линейность уравнения.