2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 11:04 


29/10/13
89
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n^{2}x^{2}}{x+n^{3}}\ln(1+\frac{x^{2}}{n})$
$E_1:(0;1) E_2:(1;+\infty)$
Подскажите какие способы здесь лучше взять для доказательства равномерной сходимости на первом множестве и неравномерной на втором?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
На первом множестве воспользуйтесь тем, что $\ln(1 + x) \leqslant x$, а потом стандартными оценками дроби сверху.
На втором множестве будет ли общий член ряда равномерно стремиться к нулю? (это необходимое условие)

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 12:37 


29/10/13
89
На первом множестве $a_n=O(1/n^{2})$ значит сходится равномерно,
как это можно проверить на втором множестве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 12:41 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
PoorFellow Tom в сообщении #794518 писал(а):
На первом множестве $a_n=O(1/n^{2})$ значит сходится равномерно,

Нет таких теорем для равномерной сходимости. Для равномерной сходимости нужны равномерные оценки.
PoorFellow Tom в сообщении #794518 писал(а):
как это можно проверить на втором множестве?

... и соответственно, не то что никак. Незачем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 13:00 


29/10/13
89
Получается $\frac{x^{2}+n^{2}x^{4}}{nx+n^{4}}$ какую же оценку здесь сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Вам разжевали, еще и в рот положить?
На первом множестве как можно оценить эту дробь сверху? При каком $x \in \overline{E}_1$ числитель будет наибольшим? А при каком знаменатель - наименьшим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 13:37 


29/10/13
89
Единицу нельзя взять, а оценка на подобии этой $\frac{(1/2)^{2}+n^{2}(1/2)^{4}}{(1/2)n+n^{4}}$ ничего не дает

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 13:41 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Она бы, мож, чего-то и дала, но только взяться ей такой неоткуда.

-- 30.11.2013, 15:46 --

PoorFellow Tom, Вы, случайно, не прогуляли всю равномерную сходимость и надеетесь восполнить этот пробел здесь? Напрасно, это не лучший способ. Возьмите задачник - Кудрявцева, например, тот том, где ряды. Там много примеров. Изучите простое, порешайте что-то сами, потом уже беритесь за Ваши задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 13:52 


29/10/13
89
это пример оттуда какраз -)
И Вы не угадали, пары я не прогуливаю впринципи, другое дело, что здесь больше нужен опыт решения, который безусловно получается как-раз при решении заданий на эту тему, но чтобы их решать нужна либо некая мат. интуиция(которая собственно из опыта и берется по сути) или свободное владение некими теоритическими выкладками
Простые задачи уже прорешаны на эту тему

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 16:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Я и не пыталась угадывать. Я поинтересовалась.

Отлично. Простые, значит, были.
$\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n^2+x}$, $E_1=(0,1)$ и $E_2=(1,+\infty)$. Это - простой. Решите. Исследовать на равномерную сходимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 20:44 


29/10/13
89
У меня получилось что на обоих множествах он сходится неравномерно по отрицанию определения : для первого множества
$x=\frac{1}{2^{n}} n=2 |r_n(x)|=1/17=\varepsilon$ для второго : $x=\frac{2}{n}  n=1 |r_n(x)|=2/3=\varepsilon $

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 21:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ясно. Начнем сначала. Каким признаком Вы пользуетесь. Как.
Какое отношение значение одного слагаемого в одной точке имеет к отсутствию равномерной сходимости.
Сходится ли равномерно на отрезке $[0,1]$ ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n^2}$. Почему.

(Оффтоп)

Я про то и говорю, что у Вас опыт на предыдущем уровне отсутствует, а Вы хотите, чтобы следующий получался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 21:26 


29/10/13
89
Так , при отрицании определения же, нужно показать, что модуль разности будет больше/равен некоего эпсилон, которое мы и выбираем исходя из значения функции в некоторой точке, ведь в определении также написано существует n и существует x
Сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, икс можно ограничить сверху единицей, получится сходящийся ряд

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 21:33 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
PoorFellow Tom в сообщении #794681 писал(а):
нужно показать, что модуль разности будет больше/равен некоего эпсилон

Модуль разности чего? Это ряд. Что Вы вычитать собираетесь?
PoorFellow Tom в сообщении #794681 писал(а):
Сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, икс можно ограничить сверху единицей, получится сходящийся ряд

А вот я возьму в Вашем равномерно сходящемся, следуя Вашему примеру, $x=1/n$, $n=2$, $\varepsilon=1/8$ и посмотрю на Вашу стройную теорию о рядах. ))

На всякий случай добавлю, что единственная верная фраза у Вас - как раз последняя: тут и оценка, и ссылка на нужный результат. И если б Вы всегда так ясно мыслили, то и цены б Вам не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная сходимость функционального ряда
Сообщение30.11.2013, 21:48 


29/10/13
89
Модуль разности частичных сумм и предела от них, насчет того, я действительно перемудрил навреное :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group