Равномерная сходимость функционального ряда

[PoorFellow Tom]

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n^{2}x^{2}}{x+n^{3}}\ln(1+\frac{x^{2}}{n})$
$E_1:(0;1) E_2:(1;+\infty)$
Подскажите какие способы здесь лучше взять для доказательства равномерной сходимости на первом множестве и неравномерной на втором?

[SpBTimes]

На первом множестве воспользуйтесь тем, что $\ln(1 + x) \leqslant x$, а потом стандартными оценками дроби сверху.
На втором множестве будет ли общий член ряда равномерно стремиться к нулю? (это необходимое условие)

[PoorFellow Tom]

На первом множестве $a_n=O(1/n^{2})$ значит сходится равномерно,
как это можно проверить на втором множестве?

[Otta]

PoorFellow Tom в сообщении #794518 писал(а):

На первом множестве $a_n=O(1/n^{2})$ значит сходится равномерно,

Нет таких теорем для равномерной сходимости. Для равномерной сходимости нужны равномерные оценки.

PoorFellow Tom в сообщении #794518 писал(а):

как это можно проверить на втором множестве?

... и соответственно, не то что никак. Незачем.

[PoorFellow Tom]

Получается $\frac{x^{2}+n^{2}x^{4}}{nx+n^{4}}$ какую же оценку здесь сделать?

[SpBTimes]

Вам разжевали, еще и в рот положить?
На первом множестве как можно оценить эту дробь сверху? При каком $x \in \overline{E}_1$ числитель будет наибольшим? А при каком знаменатель - наименьшим?

[PoorFellow Tom]

Единицу нельзя взять, а оценка на подобии этой $\frac{(1/2)^{2}+n^{2}(1/2)^{4}}{(1/2)n+n^{4}}$ ничего не дает

[Otta]

Она бы, мож, чего-то и дала, но только взяться ей такой неоткуда.

-- 30.11.2013, 15:46 --

PoorFellow Tom, Вы, случайно, не прогуляли всю равномерную сходимость и надеетесь восполнить этот пробел здесь? Напрасно, это не лучший способ. Возьмите задачник - Кудрявцева, например, тот том, где ряды. Там много примеров. Изучите простое, порешайте что-то сами, потом уже беритесь за Ваши задачи.

[PoorFellow Tom]

это пример оттуда какраз -)
И Вы не угадали, пары я не прогуливаю впринципи, другое дело, что здесь больше нужен опыт решения, который безусловно получается как-раз при решении заданий на эту тему, но чтобы их решать нужна либо некая мат. интуиция(которая собственно из опыта и берется по сути) или свободное владение некими теоритическими выкладками
Простые задачи уже прорешаны на эту тему

[Otta]

Я и не пыталась угадывать. Я поинтересовалась.

Отлично. Простые, значит, были.
$\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n^2+x}$, $E_1=(0,1)$ и $E_2=(1,+\infty)$. Это - простой. Решите. Исследовать на равномерную сходимость.

[PoorFellow Tom]

У меня получилось что на обоих множествах он сходится неравномерно по отрицанию определения : для первого множества
$x=\frac{1}{2^{n}} n=2 |r_n(x)|=1/17=\varepsilon$ для второго : $x=\frac{2}{n} n=1 |r_n(x)|=2/3=\varepsilon $

[Otta]

Ясно. Начнем сначала. Каким признаком Вы пользуетесь. Как.
Какое отношение значение одного слагаемого в одной точке имеет к отсутствию равномерной сходимости.
Сходится ли равномерно на отрезке $[0,1]$ ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n^2}$. Почему.

(Оффтоп)

Я про то и говорю, что у Вас опыт на предыдущем уровне отсутствует, а Вы хотите, чтобы следующий получался.

[PoorFellow Tom]

Так , при отрицании определения же, нужно показать, что модуль разности будет больше/равен некоего эпсилон, которое мы и выбираем исходя из значения функции в некоторой точке, ведь в определении также написано существует n и существует x
Сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, икс можно ограничить сверху единицей, получится сходящийся ряд

[Otta]

PoorFellow Tom в сообщении #794681 писал(а):

нужно показать, что модуль разности будет больше/равен некоего эпсилон

Модуль разности чего? Это ряд. Что Вы вычитать собираетесь?

PoorFellow Tom в сообщении #794681 писал(а):

Сходится равномерно по признаку Вейерштрасса, икс можно ограничить сверху единицей, получится сходящийся ряд

А вот я возьму в Вашем равномерно сходящемся, следуя Вашему примеру, $x=1/n$, $n=2$, $\varepsilon=1/8$ и посмотрю на Вашу стройную теорию о рядах. ))

На всякий случай добавлю, что единственная верная фраза у Вас - как раз последняя: тут и оценка, и ссылка на нужный результат. И если б Вы всегда так ясно мыслили, то и цены б Вам не было.

[PoorFellow Tom]

Модуль разности частичных сумм и предела от них, насчет того, я действительно перемудрил навреное