Замена базиса

[DoubleBubble]

Добрый день.
При решении задачи у меня возник вопрос, надеюсь поможете разобраться.

Условие: Пусть $a\in End(\mathbb{R}^3), a(x_i)=y_i$. Найдите $[a]_f$, если:
$x_1=(1,0,1),\;x_2=(1,1,1),\;x_3=(1,1,2)$
$y_1=(0,0,1),\;y_2=(1,1,1),\;y_3=(-2,0,0)$
$f_1=(2,1,2),\;f_2=(1,0,1),\;f_3=(2,1,1)$

Некоторые обозначения мне не очень нравятся, но привожу "как есть".

Путём нехитрых вычислений находим матрицу оператора $a$. $ A\;=\;\begin{pmatrix} 3 & 1 & -3\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Нужно найти эту матрицу, но уже в базисе $f$. Для это нужна матрица перехода, то есть координаты векторов "нового" базиса в "старом". Но в каком базисе находится полученная матрица $A$? Стандартном ортонормированном?

[mihailm]

иксы это и есть старый базис
Интересно как можно вычислить матрицу оператора без базиса???

[svv]

Мы можем задать некоторый базис («новый»), только используя некоторый другой базис («старый»).

В Вашем задании в старом базисе заданы векторы $x_k, y_k, f_k$, $k=1,2,3$. В нем же Вы нашли матрицу $A$ оператора $a$ (правильно).

Но сам старый базис нельзя задать («поднять самого себя за волосы»), не используя ещё какого-то базиса (уже третьего по счету). Соответственно, и на вопрос «какой это базис?» можно ответить лишь «это некоторый базис, назовём его старым». Сами старые базисные векторы в старом базисе — это столбцы единичной матрицы:
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
Но такой же вид будут иметь и новые базисные векторы в новом базисе. Как видите, такой «способ задания» бесполезен для различения базисов.

Более осмысленным будет, например, задать новый базис, выражая новые базисные векторы $f_1, f_2, f_3$ в старом базисе. Если записать их в виде матрицы (по столбцам):
$\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\1 & 0 & 1\\2 & 1 & 1\end{pmatrix}$
—это и будет матрица перехода от старого базиса к новому.

DoubleBubble в сообщении #793772 писал(а):

Стандартном ортонормированном?

Всё, о чем говорится в Вашей задаче, не требует понятия скалярного произведения.

[mihailm]

Путаете
$x_1,x_2,x_3$ просто базис, он задан как некоторые элементы $\mathbb{R}^3$, образ на этих базисных векторах известен, раскладываем их по $x_1,x_2,x_3$, получаем матрицу в этом базисе.
Далее, раскладываем каждый вектор из нового базиса $f_1,f_2,f_3$ по базису $x_1,x_2,x_3$ (который становится старым), получаем матрицу перехода от базиса к базису (или, щас тоже запутаю, замены координат)
Ну и известная формула.

[DoubleBubble]

$\\f_1=x_1+x_2\\f_2=x_1\\f_3=x_1+2x_2-x_3$
То есть матриса перехода $P_{x\rightarrow f} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, а искомая матрица $[a]_f = P_{f\rightarrow x}\cdot A\cdot P_{x\rightarrow f} = P^{-1}\cdot A\cdot P = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 10\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Так?

[mihailm]

По-моему матрица A неверная (для предложенного метода решения)

[DoubleBubble]

mihailm в сообщении #793815 писал(а):

По-моему матрица A неверная (для предложенного метода решения)

А ведь по определению получается, что если $X$ - базис, то матрицей оператора будет $A\cdot X$, то есть $Y$?

[mihailm]

DoubleBubble в сообщении #793817 писал(а):

mihailm в сообщении #793815 писал(а):

По-моему матрица A неверная (для предложенного метода решения)

А ведь по определению получается, что если $X$ - базис, то матрицей оператора будет $A\cdot X$, то есть $Y$?

Нет)
Матрицей будут координаты игреков в соответствующем базисе

[DoubleBubble]

mihailm в сообщении #793818 писал(а):

Нет)
Матрицей будут координаты игреков в соответствующем базисе

А в чем разница? И что за "соответствующий базис"?

[svv]

mihailm в сообщении #793811 писал(а):

Путаете
$x_1,x_2,x_3$ просто базис, он задан как некоторые элементы $\mathbb{R}^3$, образ на этих базисных векторах известен, раскладываем их по $x_1,x_2,x_3$, получаем матрицу в этом базисе.

Векторы $x_1,x_2,x_3$ могут, конечно, составить базис, но к данной задаче этот факт отношения не имеет. Мы получили матрицу оператора, но не в базисе $x_1, x_2, x_3$. В каком? В исходном, старом. В том, в котором выражены и иксы, и игреки. Ниже только им я и буду пользоваться.

Что выражает матрица оператора? Её столбцы — это векторы, которые являются образами базисных векторов. Так,
образом вектора $(1,0,0)$ является вектор $(3,1,2)$;
образом вектора $(0,1,0)$ является вектор $(1,1,0)$;
образом вектора $(0,0,1)$ является вектор $(-3,-1,-1)$.
Имея это, легко найти образ любого вектора. Например, проверим, что образом вектора $x_3$ будет как раз $y_3$:
$1(3,1,2)+1(1,1,0)+2(-3,-1,-1)=(-2,0,0)=y_3$
Но $y_3$ был задан в исходном базисе, не в базисе $x$.

Раз мы можем найти в исходном базисе образ любого вектора, мы можем вообще забыть про набор из трех векторов $x$. Они ведь выделены из остального множества лишь тем, что для них были даны их образы.

[mihailm]

DoubleBubble в сообщении #793822 писал(а):

...И что за "соответствующий базис"?

Базис, в котором мы вычисляем матрицу оператора - $x_1,x_2,x_3$

[svv]

mihailm, простите, Вы ошибаетесь. Зачем из этих трех векторов делать базис, в котором должна быть выражена матрица?

[mihailm]

svv, конечно вы правильно решаете.
Просто принять иксы за базис в этой задаче очень удобно и я бы даже сказал - идейнее

[svv]

OK, я подумаю...

[mihailm]

svv в сообщении #793827 писал(а):

mihailm, простите, Вы ошибаетесь. Зачем из этих трех векторов делать базис, в котором должна быть выражена матрица?

для одного из способов решения)
приведенного