Мне пришла в голову такая мысль. Нам известно, что если ввести набор базисных векторов, то объекты (векторы, операторы) можно выражать в этом базисе. Но можно говорить об этих объектах и
взятых самих по себе, без отношения к какому-либо базису. Для этого достаточно способа как-то задать, указать эти объекты, n'est-ce pas?
Теперь, если наши объекты - векторы евклидовой плоскости, мы их просто можем нарисовать на бумаге, тыкать в них пальцами, и говорить: "вот вектор, который мы хотим обсуждать, брать его проекции, произведения и т. п.". Если мы берём в качестве векторов, например, стулья, то можем тоже тыкать в них пальцами. Но если мы берём в качестве векторов элементы
![$\mathbb{R}^n,$ $\mathbb{R}^n,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/f/d6fbec7c8c5d32c2e6a0433a22ecceca82.png)
то у нас возникает конфликт нотаций: кортежи чисел, являющиеся нашими векторами
самими по себе, выглядят и начинают восприниматься, как векторы,
записанные в каком-то базисе.
Поэтому предлагаю (в рамках исключительно этого поста) такую нотацию: элементы
![$\mathbb{R}^n,$ $\mathbb{R}^n,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/f/d6fbec7c8c5d32c2e6a0433a22ecceca82.png)
взятые
сами по себе, я буду заключать не в круглые скобочки, а в двойные квадратные (одинарные квадратные, к сожалению, перехватил
svv):
![$x_1=[[1,0,1]],\quad x_2=[[1,1,1]],\quad x_3=[[1,1,2]].$ $x_1=[[1,0,1]],\quad x_2=[[1,1,1]],\quad x_3=[[1,1,2]].$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/a/52a9ac32943f73a4fb4168b5dfedd88c82.png)
Аналогично обозначаются и взятые
сами по себе все объекты пространств, построенных над
![$\mathbb{R}^n,$ $\mathbb{R}^n,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/f/d6fbec7c8c5d32c2e6a0433a22ecceca82.png)
то есть,
![$(\mathbb{R}^n)^{k+{*l}}.$ $(\mathbb{R}^n)^{k+{*l}}.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/3/3a35dceb9f91b04ba2782cbf1e4725cc82.png)
Например, оператор
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
будет записан как
![$a=\left[\!\left[\begin{matrix}
3 & 1 & -3\\
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & -1
\end{matrix}\right]\!\right].$ $a=\left[\!\left[\begin{matrix}
3 & 1 & -3\\
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & -1
\end{matrix}\right]\!\right].$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/d/33dba01006dcbf1c26c09dc25d88734682.png)
Подчёркиваю, это
ещё не матрица оператора
![$a,$ $a,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/2/77257d3ff2a8ab015bf0d2920e9a5d8582.png)
а именно оператор
![$a,$ $a,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/2/77257d3ff2a8ab015bf0d2920e9a5d8582.png)
взятый сам по себе, и выраженный теми средствами, которыми мы его можем указать и "начертить".
А теперь уже можно вводить базисы и работать с ними. Например, в базисе из векторов
![$x_1,x_2,x_3,$ $x_1,x_2,x_3,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/7/f47928eb46e81244ee8cfebb336f463682.png)
их компоненты будут, очевидно, выражаться как
![$x_{1(i)}=(1,0,0),\quad x_{2(i)}=(0,1,0),\quad x_{3(i)}=(0,0,1),$ $x_{1(i)}=(1,0,0),\quad x_{2(i)}=(0,1,0),\quad x_{3(i)}=(0,0,1),$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/9/cd983c5ce669b2082bb519a6465c151482.png)
и компоненты (матрица) оператора
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
будут
![$a_{(ij)}=\begin{pmatrix}
y_{1(1)} & y_{2(1)} & y_{3(1)}\\
y_{1(2)} & y_{2(1)} & y_{3(2)}\\
y_{1(3)} & y_{2(1)} & y_{3(3)}
\end{pmatrix}.$ $a_{(ij)}=\begin{pmatrix}
y_{1(1)} & y_{2(1)} & y_{3(1)}\\
y_{1(2)} & y_{2(1)} & y_{3(2)}\\
y_{1(3)} & y_{2(1)} & y_{3(3)}
\end{pmatrix}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/2/e82efbdc5b8c68489846bcbbcd9ba22182.png)
Впрочем, очевидно, базис из векторов
![$x_1,x_2,x_3,$ $x_1,x_2,x_3,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/7/f47928eb46e81244ee8cfebb336f463682.png)
нам не нужен, а можно сразу и непосредственно выражать объекты
![$x_a,y_a,a$ $x_a,y_a,a$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/6/5b6381ad19e0aa6e952156f2c74707e782.png)
в базисе из векторов
![$f_1,f_2,f_3.$ $f_1,f_2,f_3.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/e/93ef67c482185eb49caee868a09fb34482.png)
Всё, что нам нужно - это скалярное произведение, а его мы умеем вычислять для элементов
![$\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/8/8a86f4a11e2fbfc03de61d587ba826de82.png)
непосредственно, "в скобочках
[[]]".
Вот такое имхо.