Мне пришла в голову такая мысль. Нам известно, что если ввести набор базисных векторов, то объекты (векторы, операторы) можно выражать в этом базисе. Но можно говорить об этих объектах и
взятых самих по себе, без отношения к какому-либо базису. Для этого достаточно способа как-то задать, указать эти объекты, n'est-ce pas?
Теперь, если наши объекты - векторы евклидовой плоскости, мы их просто можем нарисовать на бумаге, тыкать в них пальцами, и говорить: "вот вектор, который мы хотим обсуждать, брать его проекции, произведения и т. п.". Если мы берём в качестве векторов, например, стулья, то можем тоже тыкать в них пальцами. Но если мы берём в качестве векторов элементы

то у нас возникает конфликт нотаций: кортежи чисел, являющиеся нашими векторами
самими по себе, выглядят и начинают восприниматься, как векторы,
записанные в каком-то базисе.
Поэтому предлагаю (в рамках исключительно этого поста) такую нотацию: элементы

взятые
сами по себе, я буду заключать не в круглые скобочки, а в двойные квадратные (одинарные квадратные, к сожалению, перехватил
svv):
![$x_1=[[1,0,1]],\quad x_2=[[1,1,1]],\quad x_3=[[1,1,2]].$ $x_1=[[1,0,1]],\quad x_2=[[1,1,1]],\quad x_3=[[1,1,2]].$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/a/52a9ac32943f73a4fb4168b5dfedd88c82.png)
Аналогично обозначаются и взятые
сами по себе все объекты пространств, построенных над

то есть,

Например, оператор

будет записан как
![$a=\left[\!\left[\begin{matrix}
3 & 1 & -3\\
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & -1
\end{matrix}\right]\!\right].$ $a=\left[\!\left[\begin{matrix}
3 & 1 & -3\\
1 & 1 & -1\\
2 & 0 & -1
\end{matrix}\right]\!\right].$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/d/33dba01006dcbf1c26c09dc25d88734682.png)
Подчёркиваю, это
ещё не матрица оператора

а именно оператор

взятый сам по себе, и выраженный теми средствами, которыми мы его можем указать и "начертить".
А теперь уже можно вводить базисы и работать с ними. Например, в базисе из векторов

их компоненты будут, очевидно, выражаться как

и компоненты (матрица) оператора

будут

Впрочем, очевидно, базис из векторов

нам не нужен, а можно сразу и непосредственно выражать объекты

в базисе из векторов

Всё, что нам нужно - это скалярное произведение, а его мы умеем вычислять для элементов

непосредственно, "в скобочках
[[]]".
Вот такое имхо.