Неявная функция

[Ward]

Здравствуйте!

Найдите первые несколько членов разложения $y$ как функции от $x$, заданной неявно уравнением $x^3+3xy+y^3=0$.

Я вроде попытался так: Т.е. нам нужно найти первые несколько членов разложения

$$y(x)=y(0)+\dfrac{y'(0)}{1!}x+\dfrac{y''(0)}{2!}x^2+\dfrac{y'''(0)}{3!}x^3+\dots$$

Продифференцируем $x^3+3xy+y^3=0$ по $x$ и получаем: $x^2+y+xy'+y^2y'=0$ , а отсюда получаем: $y'=-\dfrac{x^2+y}{x+y^2}$
Подставляя в $x^3+3xy+y^3=0$ значение $x=0$ получаем $y(0)=0$. Но отсюда $y'(0)=-\dfrac{y(0)}{y^2(0)}$ -- происходит деление на ноль. В чем тут дело? Вроде ошибку я не нашел.

[SpBTimes]

Точка $(0; 0)$ особая, да.

[Ward]

SpBTimes
И что тут тогда делать?

[provincialka]

Можно методом неопределенных коэффициентов (я дошла до $x^5$)

[SpBTimes]

Если особая точка - точка касания ветвей, то, вообще говоря, производную найти наверное можно.
Если она, скажем, точка самопересечения, то производная - многозначная функция, и надо как-то ветвь отделять. А в других случая дифференцируемости не будет (вроде как).
Хотя я, если честно, не уверен. Может кто-то знающий подойдет, с удовольствием сам послушаю.

[provincialka]

Здесь это точка самопересечения, две ветви перпендикулярны (одна горизонтальна, другая - вертикальна). Вторую, ясно, нельзя разложить. А первую - можно, там коэффициенты находятся методом неопределенных коэф. и многие равны 0. Я проверила результат на графике.

[SpBTimes]

provincialka
А, ну вот. А я график что-то не прикидывал. Тогда я более ли менее "в теме". Спасибо!

[provincialka]

Декартов лист. Только надо взять $a=-1$, график перевернется на $180^\circ$

[Ward]

provincialka
Извините пожалуйста, а как тут метод неопр. коэффициентов используется? Честно говоря, даже не представляю

[provincialka]

Ну, пишете, например, что $y=a+bx+cx^2+o(x^2)$, подставляете в уравнение. Получаете величину, которая равна 0 с точностью до $o(x^3)$. Значит, все коэффициенты до степени $x^3$ включительно равны 0. Потом можно добавить еще слагаемых.
Впрочем, вы можете сразу положить $a=0$.

[Ward]

provincialka
А почему все слагаемые вида скажем $ax^4$ или более высокой степени пропадают?

[SpBTimes]

Ward
Вы же используете асимптотическое равенство. До некоторого порядка малости. Надо больше - берите больше и точность.

[provincialka]

Не пропадают. Просто прячутся в $o(x^3)$. Можно при желании сразу брать разложение, скажем, до пятой степени. Но можно и постепенно, чтобы счет был менее громоздким. Там многие коэффициенты обратятся в 0.

[Ward]

provincialka
Извините за повторный вопрос. Вы правильно сказали, а почему они прячутся в $o(x^3)$? Это наверное потому что мы рассматриваем в близкой окрестности нуля. Я правильно понимаю?

[provincialka]

Ну конечно, иначе что же значат слова

Ward в сообщении #792615 писал(а):

Найдите первые несколько членов разложения $y$ как функции от $x$ ...

Ясно, что везде надо писать "припев" при $x\to 0$.