2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 21:19 
Здравствуйте!

Найдите первые несколько членов разложения $y$ как функции от $x$, заданной неявно уравнением $x^3+3xy+y^3=0$.

Я вроде попытался так: Т.е. нам нужно найти первые несколько членов разложения $$y(x)=y(0)+\dfrac{y'(0)}{1!}x+\dfrac{y''(0)}{2!}x^2+\dfrac{y'''(0)}{3!}x^3+\dots$$
Продифференцируем $x^3+3xy+y^3=0$ по $x$ и получаем: $x^2+y+xy'+y^2y'=0$ , а отсюда получаем: $y'=-\dfrac{x^2+y}{x+y^2}$
Подставляя в $x^3+3xy+y^3=0$ значение $x=0$ получаем $y(0)=0$. Но отсюда $y'(0)=-\dfrac{y(0)}{y^2(0)}$ -- происходит деление на ноль. В чем тут дело? Вроде ошибку я не нашел.

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 21:24 
Аватара пользователя
Точка $(0; 0)$ особая, да.

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 21:24 
SpBTimes
И что тут тогда делать?

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 21:58 
Аватара пользователя
Можно методом неопределенных коэффициентов (я дошла до $x^5$)

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:09 
Аватара пользователя
Если особая точка - точка касания ветвей, то, вообще говоря, производную найти наверное можно.
Если она, скажем, точка самопересечения, то производная - многозначная функция, и надо как-то ветвь отделять. А в других случая дифференцируемости не будет (вроде как).
Хотя я, если честно, не уверен. Может кто-то знающий подойдет, с удовольствием сам послушаю.

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:11 
Аватара пользователя
Здесь это точка самопересечения, две ветви перпендикулярны (одна горизонтальна, другая - вертикальна). Вторую, ясно, нельзя разложить. А первую - можно, там коэффициенты находятся методом неопределенных коэф. и многие равны 0. Я проверила результат на графике.

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:14 
Аватара пользователя
provincialka
А, ну вот. А я график что-то не прикидывал. Тогда я более ли менее "в теме". Спасибо!

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:17 
Аватара пользователя
Декартов лист. Только надо взять $a=-1$, график перевернется на $180^\circ$

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:20 
provincialka
Извините пожалуйста, а как тут метод неопр. коэффициентов используется? Честно говоря, даже не представляю :-(

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:26 
Аватара пользователя
Ну, пишете, например, что $y=a+bx+cx^2+o(x^2)$, подставляете в уравнение. Получаете величину, которая равна 0 с точностью до $o(x^3)$. Значит, все коэффициенты до степени $x^3$ включительно равны 0. Потом можно добавить еще слагаемых.
Впрочем, вы можете сразу положить $a=0$.

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:38 
provincialka
А почему все слагаемые вида скажем $ax^4$ или более высокой степени пропадают?

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:39 
Аватара пользователя
Ward
Вы же используете асимптотическое равенство. До некоторого порядка малости. Надо больше - берите больше и точность.

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:41 
Аватара пользователя
Не пропадают. Просто прячутся в $o(x^3)$. Можно при желании сразу брать разложение, скажем, до пятой степени. Но можно и постепенно, чтобы счет был менее громоздким. Там многие коэффициенты обратятся в 0.

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:43 
provincialka
Извините за повторный вопрос. Вы правильно сказали, а почему они прячутся в $o(x^3)$? Это наверное потому что мы рассматриваем в близкой окрестности нуля. Я правильно понимаю?

 
 
 
 Re: Неявная функция
Сообщение25.11.2013, 22:49 
Аватара пользователя
Ну конечно, иначе что же значат слова
Ward в сообщении #792615 писал(а):
Найдите первые несколько членов разложения $y$ как функции от $x$ ...
Ясно, что везде надо писать "припев" при $x\to 0$.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group