Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2

[ananova]

Попробую поискать ошибки и упущения на примере показателя n=3

В результате двух шагов по рекурсии должно получиться уравнение, в котором $z^3$ имеет множитель $3^5$, который не является кубом.
(1.1.1)

$$x^3+(8x+9(8x+9y_2))^3=z^3$$

$$81(x+y_2)^2(81(x+y_2)^2(9(8x+y_2)+6x)+3x^2)=z^3$$

[ananova]

ananova в сообщении #792391 писал(а):

Попробую поискать ошибки и упущения на примере показателя n=3

$$81(x+y_2)^2(81(x+y_2)^2(9(8x+y_2)+6x)+3x^2)=z^3$$

Пропустил 9 без ущерба, но надо поставить на место

$$81(x+y_2)^2(81(x+y_2)^2(9(8x+9y_2)+6x)+3x^2)=z^3$$

[ananova]

(Оффтоп)

Прошу двойное прощение - не верно раскрыл скобки. Не могу без ошибок. Привожу заново последние сообщения! ВСЕ перепроверил.

Попробую поискать ошибки и упущения на примере показателя n=3

В результате двух шагов по рекурсии должно получиться уравнение, в котором $z^3$ имеет множитель $3^5$, который не является кубом.
(1.1.1)

$$x^3+(8x+9(8x+9y_2))^3=z^3$$

(1.1.2)

$$81(x+y_2)(81(x+y_2)(9(8x+9y_2)+6x)+3x^2)=z^3$$

Протестировал на примере..
При $x=1$ и $y_2=5$ оба вычисления совпали $= 114084126$

Примечание. Данное число, делится на $3^6$, т.к. $(x+y_2=1+5)$ содержит множитель 3. Но (по уже упоминавшимся соотношениям Барлоу) $(x+y_2)$ является кубом, поэтому не может содержать один множитель 3. Что согласуется с ранее сделанными доказательствами и предположениями.

[ananova]

В общем случае, из найденного решения (для $y$), легко найти значение $y_2$, воспользовавшись соотношением: $y=8x+9(8x+9y_2)$

$$y_2=\frac {y-80x} {81}$$

[ananova]

Согласно известных соотношений Барлоу (подробнее см. книгу Рибенбойма), $z^3$ можно рассматривать как произведение кубов $z_1^33^{3k}z_2^3$, где $k=1, 2, 3 \ldots$ . При этом $(x+y)=z_1^33^{3k-1}$. При разных значениях $k$ имеются различия в доказательствах. Я не учел этого и попробую восполнить этот пробел.

Рассмотрим корректность преобразования переменной $y$ (или $x$) c минимальным использованием рекурсивного подхода. Конкретно остановимся на преобразованиях переменной $y$.
(1)

$$z^3=x^3+y^3=(x+y)((x+y)(y-2x)+3x^2)$$

1) Пусть внутренний множитель $(y-2x)$ равен $a$. Если $(a,3)=1$.
Тогда для Случая 2, решений нет и ВТФ верна. Действительно $y=(2x+a) \Rightarrow (x+y)=(3x+a)$. При заданном условии такое число не делится на 3.

2) Рассмотрим альтернативный вариант. Пусть внутренний множитель $(y-2x)$ делится на 3, например $a=3w$. Если $(w,3)=1$.
Тогда для Случая 2 решений нет и ВТФ верна. Действительно $y=(2x+3w) \Rightarrow (x+y)=(3x+3w)$. Такое число делится на 3, но не делится на $3^{2k}$.

3) Пусть внутренний множитель $y=(2x+3w)$ равен

$$y=(8x+9y_2)\Rightarrow (x+y)=(9x+9y_2)$$

$$\Rightarrow y=(2x+3w)=(8x+9y_2)\Rightarrow y_2 = \frac {6x-3w} {9}$$

Мы пришли к рациональному виду числа $y_2$. Если переназначить $y$ так: $y=(8x+9y_2)$, то вариант возможного доказательства ВТФ был показан в предыдущем посте.

4) У нас есть еще много интересных случаев, которые нужно рассмотреть. Например: $(x+y)=(3^5x+3^5y_4)$. Поступаем по проверенной схеме - пусть

$$y=((3^5-1)x+3^5y_4)$$

Выполняем подстановки, возможно, начиная с начального этапа, когда $y-2x=a$. Последовательно подходим к $y=((3^5-1)x+3^5y_4)$.
Далее представляем эту переменную, через рекурсию $y=((3^5-1)x+3^5((3^5-1)x+3^5y_5))$.
Вот тут надо еще раз остановится и перепроверить. Если ошибок нет, то доказывается, как в предыдущем посте, т.е. переходом на очередной шаг рекурсии.

[ananova]

ananova в сообщении #792586 писал(а):

4) У нас есть еще много интересных случаев, которые нужно рассмотреть. Например: $(x+y)=(3^5x+3^5y_4)$. Поступаем по проверенной схеме - пусть

$$y=((3^5-1)x+3^5y_4)$$

Выполняем подстановки, возможно, начиная с начального этапа, когда $y-2x=a$. Последовательно подходим к $y=((3^5-1)x+3^5y_4)$.
Далее представляем эту переменную, через рекурсию $y=((3^5-1)x+3^5((3^5-1)x+3^5y_5))$.
Вот тут надо еще раз остановится и перепроверить. Если ошибок нет, то доказывается, как в предыдущем посте, т.е. переходом на очередной шаг рекурсии.

$$x+y=((3^5-1)x+3^5((3^5-1)x+3^5y_5))= 3^{10}(x+y_5)$$

Это противоречит изложенному ранее

ananova в сообщении #792586 писал(а):

Согласно известных соотношений Барлоу (подробнее см. книгу Рибенбойма), $z^3$ можно рассматривать как произведение кубов $z_1^33^{3k}z_2^3$, где $k=1, 2, 3 \ldots$ . При этом $(x+y)=z_1^33^{3k-1}$.

Следовательно есть смысл продвигаться дальше и найти лаконичные формулировки для нового доказательства.

[serega57]

ananova в сообщении #792811 писал(а):

$z^3$ можно рассматривать как произведение кубов $z_1^33^{3k}z_2^3$, где $k=1, 2, 3 \ldots$ . При этом $(x+y)=z_1^33^{3k-1}$.

Не только может, но даже и недолжно, z просто обязано таковым быть. Без всяких соотношений Барлоу

[vasili]

Уважаемый anonava! Вы пишете

1) Пусть внутренний множитель $(y-2x)$ равен $a$. Если $(a,3)=1$.
Тогда для Случая 2, решений нет и ВТФ верна. Действительно $y=(2x+a) \Rightarrow (x+y)=(3x+a)$. При заданном условии такое число не делится на 3.

2) Рассмотрим альтернативный вариант. Пусть внутренний множитель $(y-2x)$ делится на 3, например $a=3w$. Если $(w,3)=1$.
Тогда для Случая 2 решений нет и ВТФ верна. Действительно $y=(2x+3w) \Rightarrow (x+y)=(3x+3w)$. Такое число делится на 3, но не делится на $3^{2k}$.

3) Пусть внутренний множитель $y=(2x+3w)$ равен

$$y=(8x+9y_2)\Rightarrow (x+y)=(9x+9y_2)$$

$$\Rightarrow y=(2x+3w)=(8x+9y_2)\Rightarrow y_2 = \frac {6x-3w} {9}$$

Это все не так.

1. При $(X + Y, 3) =3$ и $(XY,3)=1$ всегда $(Y -2X, 3) =3$.

2.$(3X + 3w)$ делиться $3^{3K-1}$.

3. $Y_2 =\frac {3w-6X} {9}$ - число целое.

[ananova]

Чтобы не потерялась откорректированная запись уравнения, решил скопировать ее из соседней темы (может пригодится):
http://dxdy.ru/post796304.html#p796304

$$x^3 +((3^{3k-1}-1)x+3^{3k-1}w)^3=(3^{3k-1}x+3^{3k-1}w)((3^{3k-1}x+3^{3k-1}w)((3^{3k-1}-3)x+3^{3k-1}w)+3x^2)=z^3$$

При $k=1$ имеем такую композицию множителей:

$$x^3 +(8x+9w)^3=(9x+9w)((9x+9w)(9x+9w-3x)+3x^2)=z^3$$

Рассмотрел случай $z=y+1=8x+9w+1$. Попробовал выразить $w$ через $x$.

Для чего открыл Microsoft Mathematics и построил два графика уравнений:
$f(x,w)=x^3 +(8x+9w)^3$ и $f(x,w)=(8x+9w+1)^3$
Графики этих функций расходятся. Можете прокомментировать в чем тут дело?

[ananova]

Сорри. Нашел точку пересечения графиков..

Для $w$ относительно $x$ у Microsoft Mathematics имеется два решения. Имеются ввиду решения не в целых числах. Для $x >1$:

1) $w=\frac {\sqrt[2]{972x^3-243}} {486}-\frac {8x} 9-\frac 1 {18}$
2) $w= \frac {-\sqrt[2]{972x^3-243}} {486}-\frac {8x} 9-\frac 1 {18}$

Остается только отметить, что $w$ - должны быть целым (касательно ВТФ).

Если возвести одно из решений в квадрат, то получится нечто похожее на уравнение Мордела:

$w^2=\frac {x^3}{243}-\frac{8x\sqrt[2]{972x^3-243}}{2187}+\frac {64x^2}{81}-\frac {\sqrt[2]{972x^3-243}}{4374}+\frac {8x}{81}+\frac 1 {486}$

Надеюсь, что на форуме найдутся специалисты, которые смогут доказать, что $w$ не может принимать целые значения, когда $x$ - целое положительное число.