Сколько аналогов ротора в R^n

[Divergence]

svv в сообщении #791091 писал(а):

Верно. Не учитывает

Такое не интересно, так как не выполняется принцип соответствия: в $n=3$ получаем не то, что обычно используется.

[svv]

Во-первых, для случая ортогональных координат учесть это несложно (появятся дополнительные шаги в начале и в конце списка).

Во-вторых, Вы же мирились с тем, что в справочниках приводится все-таки ротор как вектор, а здесь говорилось о роторе как 2-форме. Пусть переход и несложный, но всё же.

[Sicker]

Цитата:

Пусть на входе 1-форма $\alpha=\alpha_i dy^i$. Тогда на выходе 2-форма

$$\beta=d\alpha=\frac{\partial \alpha_k}{\partial y^i} \;dy^i\wedge dy^k$$

Здесь координаты $y^i$ — это $(r, \varphi_1, ..., \varphi_{n-1})$.

а если мы рассмотрим случай $i=1$, то получиться

$$\beta=d\alpha=\frac{\partial \alpha_1}{\partial y^1} \;dy^1\wedge dy^1$$

а $dy^1\wedge dy^1=0$

[Oleg Zubelevich]

я как-то всегда думал, что в многомерном случае ротор векторного поля $v$ это распределение, которое задается анулятором формы $d\omega,\quad \omega=g_{ij}v^jdx^i$

[warlock66613]

Sicker в сообщении #791142 писал(а):

а если мы рассмотрим случай $i=1$,

Sicker, в приведённой формуле $i$ и $k$ - это не свободные переменные: они повторяются дважды, а значит по ним подразумевается суммирование: $a_i b^i \equiv \sum\limits_ia_i b^i = a_1 b^1 + a_2 b^2 + ... +a_n b^n$

[Sicker]

ну да, я так и понял

[g______d]

Я, если честно, обычно пытаюсь не путаться и для этого называю ротором только классический оператор, действующий на векторные поля в евклидовом $\mathbb R^3$, а для всего остального использую $d$ и $\star$.

Oleg Zubelevich в сообщении #791158 писал(а):

я как-то всегда думал, что в многомерном случае ротор векторного поля $v$ это распределение, которое задается анулятором формы $d\omega,\quad \omega=g_{ij}v^jdx^i$

Это как? Он что, с точностью до множителя определен?

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #791198 писал(а):

Я, если честно, обычно пытаюсь не путаться и для этого называю ротором только классический оператор, действующий на векторные поля в евклидовом $\mathbb R^3$

это-то, ясно, хоть в $\mathbb{R}^3$ хоть на любом трехмерном римановом многообразии.

g______d в сообщении #791198 писал(а):

Это как? Он что, с точностью до множителя определен?

[svv]

Хорошее определение ротора с точностью до множителя. Так же как и гладкая кривая определяет касательный вектор в любой своей точке с точностью до множителя.

[g______d]

Спасибо, не знал про такое.

[svv]

Я тоже не знал.
Специальная конструкция для специальной цели.