Решение дифференциального уравнения

[svv]

Да. Меня интересовало, насколько похожим можно сделать то, что у Вас получилось, на ответ в книге, если предположить, что у Вас и у Филиппова просто по-разному вводятся произвольные постоянные.

[Rostislav1]

svv,а что делать с еще одним решением? я про $\[2{(x + k)^2} + 2{y^2} = {k^2}\]$

[svv]

Так это же то же самое, оно получается из уже полученного решения с помощью $K=-K_1$.

[Rostislav1]

а, ну, да, точно. Большое спасибо за помощь!

[provincialka]

У меня нет под рукой Филиппова, но я бы поступила так. Постараемся найти $y$ из равенств
$ c\sqrt {{x^2} - {y^2}} - \sqrt 2 cx = 1 $
$ c\sqrt {{x^2} - {y^2}} + \sqrt 2 cx = 1$
Сразу хочется поделить равенства на $c$, тем более оно здесь не может быть равным 0 . Полуучаем
$ \sqrt {{x^2} - {y^2}} - \sqrt 2 x = 1/c $
$ \sqrt {{x^2} - {y^2}} + \sqrt 2 x = 1/c$
Уединим радикалы:
$ \sqrt {{x^2} - {y^2}}= 1/c + \sqrt 2 x = \sqrt 2(x+\frac1{c\sqrt 2})$
$ \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 1/c- \sqrt 2 x= -\sqrt 2(x-\frac1{c\sqrt 2})$
Теперь видно, что оба решения можно объединить в одно, обозначив свободный член в скобке после $x$ через $K$ или снова через $c$. Так как знак $c$ произволен, то и константа $K$ произвольна. Впрочем, из построения следует, что она не равна 0, но эти случаи можно проверить отдельно. Итак, первый интеграл приобретает вид
$ \sqrt {{x^2} - {y^2}}= \pm\sqrt 2(x+K)$. Знак выбираем так, чтобы правая часть была положительной.
Думаю, дальнейшие действия понятны: избавиться от радикала и выделить полный квадрат.

[Rostislav1]

provincialka, я уже "добил" свое решение, но все равно, спасибо за помощь :)