Одно диофантово уравнение и ВТФ.

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

...Таким образом, и эта оригинальная идея противоречия равенства Ферма не вскрывает, и вероятные инструменты дальнейшего поиска - это неравенства и числа $pn+1$.

Новое весьма оригинальное гипотетическое доказательство сконструировано. По ощущению все его моменты доказуемы, но, конечно, требуется тщательный анализ.
Его первая лемма:
Для любого простого $n$ существует бсконечное множество таких простых чисел $q$, что числа $n$ и $q-1$ являются взимно простыми.
Когда-то я ее доказал с помощью леммы о бесконечности простых чисел вида $pn+1$. А что думает по этому поводу читатель?

[shwedka]

Здесь я помогу. Несколько лет назад Теренс Тао, прошлогодний филдсовский лауреат, доказал, что любая арифметическая прогрессия, у которой первый член и разность взаимно просты, содержит бесконечно много простых чисел. Я была на конференции в Мадриде, где он чуть ли не впервые это рассказывал. За 4 часа рассказал. То, что Вам нужно - частный случай теоремы Тао.

[tolstopuz]

shwedka писал(а):

Здесь я помогу. Несколько лет назад Теренс Тао, прошлогодний филдсовский лауреат, доказал, что любая арифметическая прогрессия, у которой первый член и разность взаимно просты, содержит бесконечно много простых чисел. Я была на конференции в Мадриде, где он чуть ли не впервые это рассказывал. За 4 часа рассказал. То, что Вам нужно - частный случай теоремы Тао.

Этот частный случай доказан Дирихле в 1837 году (а еще более частный случай с единицей доказывается еще легче)
А Грин-Тао доказали, что существуют конечные прогрессии сколь угодно большой длины, состоящие исключительно из простых чисел. И даже дали какую-то безумную оценку.

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

То, что Вам нужно - частный случай теоремы Тао.

tolstopuz писал(а):

Этот частный случай доказан Дирихле в 1837 году (а еще более частный случай с единицей доказывается еще легче)
А Грин-Тао доказали, что существуют конечные прогрессии сколь угодно большой длины, состоящие исключительно из простых чисел. И даже дали какую-то безумную оценку.

Большое спасибо за нужную и впечатляющую информацию.
К сожалению, в моем проекте доказательства это «цветочки», а «ягодки» - следующая ключевая лемма-теорема:
Для любого простого $n$ существует такое простое число $q>n$, что числа $n$ и $q-1$ взаимопростые И
все последние цифры чисел $n^t$ в базе $q$, где $t=1, 2, … q-1$, различны, т.е. составляют полный набор позитивных цифр в базе $q$.
Если эта лемма-теорема будет доказана, то простое доказательство ВТФ займет строчек пять в кратком изложении и строк пятнадцать – в классическом. Я опубликую его в любом случае дней через десять. А пока хотелось бы порассуждать об указанной Лемме-теореме.

Вот, например, множества $q$ для $n$ (это первые числа в каждой строке) от $3$ до $41$:
3 – 5, 11, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43,…
5 – 7, 13, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 43,…
7 – 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41,…
(8) –
11 – 13, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43,…
13 – 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,…
17 – 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,…
19 – 23, 29, 31, 37, 41, 43,…
23 – 29, 31, 37, 41, 43,…
29 – 31, 37, 41, 43,…
31 – 37, 41, 43,…
37 – 41, 43,…
41 – 43,…

Закономерность налицо: ЛЮБОЕ $q$, со взимно простыми $n$ и $q-1$ дает ПОЛНЫЙ спектр позитивных цифр в последних цифрах чисел $n^q$ в базе $q$. И вряд ли доказательство такой простой закономерности может представить непреодолимую трудность. А какова ваша оценка?

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

Если эта лемма-теорема будет доказана, то простое доказательство ВТФ займет строчек пять в кратком изложении и строк пятнадцать – в классическом. Я опубликую его в любом случае дней через десять.

Думаю, что ждать не стоит.

ГИПОТЕТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА,
основанное на следующих двух леммах-теоремах

Лемма 1:
Для любого нечетного числа $a$ существует бесконечное множество таких простых чисел $q>a$, что числа $a$ и $q-1\ [=m]$ являются взаимно простыми.
Лемма 2:
Все последние цифры у чисел $a^t$ в базе $q$, где $t=1, 2, … q-1$, различны, т.е. составляют полный набор позитивных цифр в базе $q$.
[Сейчас нет времени вспоминать доказательства этих лемм – это можно отложить на будущее. Но стоит посмотреть коментарии форумчан shwedka и tolstopuz на этой странице.]

Суть найденного противоречия ВТФ: в базе $q$ число $a^n+b^n -c^n=1$, а не $0$.

Итак, допустим, что
(1°) $a^n+b^n = c^n$, где нечетное $n >2$ и $a$ либо $c$ также нечетно.

Доказательство ВТФ
(2°) Для нечетного числа $3na^n$ (либо для $nc^n$) возьмем простое число $q>3na^n >c^n$, удовлетворяющее условию Леммы 1.
Составим линейное диофантово уравнение со взаимно простыми параметрами $n$ и $m=q-1$:
(3°) $n(x+tm)-m(y+tn)=1$ с общим решением $(x+tm; y+tn)$.
(4°) Так как согласно Лемме 2 (поскольку однозначное $a$ и $m$ взаимно простые), все однозначные окончания у $t-1$ чисел $a^t$ – следовательно, и чисел $a^x+tm$ – различны, то существуют такие значения $ x+tm=r$ и $ x+tm=s$, что однозначные окончания у чисел $a^r$ и $a^s$ равны $b$ и $c$.
Но согласно малой теореме Ферма, однозначные окончания у чисел $a^n$, $a^{rn}$ и $a^{sn}$ в базе $q$ равны $1$, и тогда однозначное окончание числа
(5°) $a^n+a^{rn}-a^{sn}n$, то есть $a^n+b^n-c^n$=1, а не $a^n+b^n-c^n$=0.

ВТФ доказана.
+++++++++++++++++++++

Наутро:
Найдено краткое и красивое доказательство Леммы 1 и почти найдено доказательство Леммы 2. Но сначала хотелось бы увидеть мнение читателей по поводу основного текста.

[В.Сорокин]

Изменение (ослабление) Леммы 2
Лемма 2:
Для любого простого $q$ в базе $q$ существует такая цифра $e$, что все последние цифры у чисел $e^t$, где $t=1, 2, … q-1$, различны, т.е. составляют полный набор позитивных цифр.

В доказательстве ВТФ в этом случае в формуле 5° степень числа $a$ меняется с $n$ на $np$.

Доказательство этой леммы пока не найдено. И за 18 лет моей переписки с математиками пока никто не высказал своего мнения на эту тему (которую я исследую с 1991 г.).

[В.Сорокин]

О ситуации

1. О самом доказательстве ВТФ.
Я окончательно остановился на этой версии. В дальнейшем возможны лишь небольшие подгонки под уточняемые леммы.

2. Лемма 1. Уточнение.
Для любого нечетного числа $a$ существует такое простое число $q>a$, что числа $a$ и $q-1\ [=m]$ являются взаимно простыми и четное $q-1$ не делится на $4$.
(Оказалось, что найденный мною ранее простой метод доказательства этой леммы автоматически ведет к удовлетворению требования по степени четности числа $q-1$.)

3. Лемма 2:
Для любого простого $q$ в базе $q$ существует такая цифра $e$, что все последние цифры у чисел $e^t$, где $t=1, 2, … q-1$, различны, т.е. составляют полный набор позитивных цифр.
Интересный экспериментальный факт: если $q$ удовлетворяет требованиям Леммы 1, то свойством цифры $e$ обладает либо цифра $g$, либо цифра $q-1-g$ при условии, что одна из них является взаимопростой с $q-1$. Если бы удалось доказать этот устойчивый факт, то проблема ВТФ была бы решена полностью.

[Руст]

В.Сорокин писал(а):

2.Лемма 1. Уточнение.
Для любого нечетного числа $a$ существует такое простое число $q>a$, что числа $a$ и $q-1\ [=m]$ являются взаимно простыми и четное $q-1$ не делится на $4$.
(Оказалось, что найденный мною ранее простой метод доказательства этой леммы автоматически ведет к удовлетворению требования по степени четности числа $q-1$.)

3. Лемма 2:
Для любого простого $q$ в базе $q$ существует такая цифра $e$, что все последние цифры у чисел $e^t$, где $t=1, 2, … q-1$, различны, т.е. составляют полный набор позитивных цифр.
Интересный экспериментальный факт: если $q$ удовлетворяет требованиям Леммы 1, то свойством цифры $e$ обладает либо цифра $g$, либо цифра $q-1-g$ при условии, что одна из них является взаимопростой с $q-1$. Если бы удалось доказать этот устойчивый факт, то проблема ВТФ была бы решена полностью.

Первая Лемма верна. Только оно нечто большее чем утверждение Дтрихле. Я сомневаюсь, что вы её докажете.
Первая часть второй леммы общеизвестный простой факе о примитивном элементе или цикличечности мультипликативный группы полей Галуа.
А вот вторая часть не верна. Можно привести контрпример. Только мне лень искать.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

Первая Лемма верна. Только оно нечто большее чем утверждение Дирихле. Я сомневаюсь, что вы её докажете.
Первая часть второй леммы общеизвестный простой факт о примитивном элементе или цикличечности мультипликативный группы полей Галуа.
А вот вторая часть не верна. Можно привести контрпример. Только мне лень искать.

Спасибо за ценнейшую информацию! Для активного продвижения дальше мне этого достаточно. Жаль только, что мне самому пока не удается найти простое доказательство Леммы 2, что мешает мне утверждать, что П.Ферма знал ее доказательство.
Итак, я перехожу к интересному доказательству Леммы 1. А поскольку она имеет самостоятельное значение в теории чисел, то я начну ее рассмотрение в отдельной теме:
«Теорема о взаимопростых $n$ и $q-1$, где $q$ простое, а $n$ нечетно».

[Руст]

В.Сорокин писал(а):

Итак, я перехожу к интересному доказательству Леммы 1. А поскольку она имеет самостоятельное значение в теории чисел, то я начну ее рассмотрение в отдельной теме:
«Теорема о взаимопростых $n$ и $q-1$, где $q$ простое, а $n$ нечетно».

Думаю не стоит из-за такой мелочи открывать новую тему. Для этого вам достаточно найти такое a (остаток), что (a,2n)=1, (a-1,n)=1, а дальше воспользоваться теоремой Дирихле. Я утверждал, что сомневаюсь в том, что вы докажете и первую часть для нечётных n. Относительсно доказательства теоремы Дирихле могу сказать только, что вообще не найдено элементарного доказательства общего случая до сих пор.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

В.Сорокин писал(а):

Итак, я перехожу к интересному доказательству Леммы 1. А поскольку она имеет самостоятельное значение в теории чисел, то я начну ее рассмотрение в отдельной теме:
«Теорема о взаимопростых $n$ и $q-1$, где $q$ простое, а $n$ нечетно».

Думаю не стоит из-за такой мелочи открывать новую тему. Для этого вам достаточно найти такое a (остаток), что (a,2n)=1, (a-1,n)=1, а дальше воспользоваться теоремой Дирихле. Я утверждал, что сомневаюсь в том, что вы докажете и первую часть для нечётных n. Относительсно доказательства теоремы Дирихле могу сказать только, что вообще не найдено элементарного доказательства общего случая до сих пор.

Уважаемый Руст,
Ваша информация является достаточной, чтобы утверждать, что краткое элементарное доказательство ВТФ В ПРИНЦИПЕ найдено. Однако оно – если его верность подтвердится – мало чем отличается от доказательства Эндрю Уайлса, поскольку основано на работе Дирихле, жившем в 19 веке. И потому было бы важно найти столь простое доказательство обеих лемм, чтобы иметь основание утверждать, что П.Ферма действительно нашел «поистине сказочное доказательство».
Конечно, доказательство Леммы-теоремы 1 я могу начать излагать и в этой теме, но при условии, что Вы не откажете в любезности на него взглянуть.

[Руст]

В.Сорокин писал(а):

Уважаемый Руст,
Ваша информация является достаточной, чтобы утверждать, что краткое элементарное доказательство ВТФ В ПРИНЦИПЕ найдено. Однако оно – если его верность подтвердится – мало чем отличается от доказательства Эндрю Уайлса, поскольку основано на работе Дирихле, жившем в 19 веке. И потому было бы важно найти столь простое доказательство обеих лемм, чтобы иметь основание утверждать, что П.Ферма действительно нашел «поистине сказочное доказательство».
Конечно, доказательство Леммы-теоремы 1 я могу начать излагать и в этой теме, но при условии, что Вы не откажете в любезности на него взглянуть.

1. Не найдено, так как мы не видели, что из этих лемм оно выводится.
2. Теорема Дирихле не сравнима элементарнее доказательства Эндрю Уайлса, первое не считается элементарной только из-за использования комплексных чисел, которых сейчас не проходят в школах.
3. Ферма ошибался, считая что нашёл элементарное доказательство. Он ошибался так же считая, что все числа Ферма простые.
4. Не откажусь, пока не надоест.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

1. Не найдено, так как мы не видели, что из этих лемм оно выводится.
2. Теорема Дирихле не сравнима элементарнее доказательства Эндрю Уайлса, первое не считается элементарной только из-за использования комплексных чисел, которых сейчас не проходят в школах.
3. Ферма ошибался, считая что нашёл элементарное доказательство. Он ошибался так же считая, что все числа Ферма простые.
4. Не откажусь, пока не надоест.

1. Дело поправимо.
2. Думаю. Но все равно на три века позже.
3. Еще не вечер. Я покажу вероятное место, где он мог ошибиться.
4. Огромное спасибо!

[Руст]

Решил упростить вам задачу.
Доказательство леммы 1. Пусть p>n простое число и $2^p=b\mod n$. Если b нечётное, то любое простое число q=b(mod 2n) удовлетворяет условию леммы, так как [maath]$(n,q-1)=(n,2^p-1)=1$[/math], так как для любого простого делителя r числа n (нечётного) $r\not |2^p-1$. Если b чётное, то работает замена b на n-b.
Вторая лемма о примитивном элементе общеизвестна, так что не стоит их здесь доказывать. Ваша задача вывести из этих лемм несчастную теорему.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

Решил упростить вам задачу.
Доказательство леммы 1. Пусть p>n простое число и $2^p=b\mod n$. Если b нечётное, то любое простое число q=b(mod 2n) удовлетворяет условию леммы, так как [maath]$(n,q-1)=(n,2^p-1)=1$[/math], так как для любого простого делителя r числа n (нечётного) $r\not |2^p-1$. Если b чётное, то работает замена b на n-b.
Вторая лемма о примитивном элементе общеизвестна, так что не стоит их здесь доказывать. Ваша задача вывести из этих лемм несчастную теорему.

Несчастная теорема выведена будет. Над Вашей задачей подумаю, а пока мое доказательство Леммы 1:
Итак, я приступаю к доказательству
(1°) «Теоремы о взаимно простых $n$ и $q-1$, где $q$ простое, а $n$ нечетно».

Для доказательства нам понадобится ввести несколько понятий.
- Покрытием (в объеме данного доказательства) $P$ мы будем называть бесконечное множество натуральных чисел с постоянным (равным) интервалом между соседними числами, где значение первого числа в множестве не превышает величины интервала (периода, шага).
- Элемент (число) какого-либо упорядоченного бесконечного множества чисел $Q$ на которое при наложении покрытия $P$ на множество $Q$ приходится первое число покрытия $P$, назовем отмеченным, прочие числа множества покрытия $Q$ будем называть покрытыми, остальные числа будем называть непокрытыми.

(2°) Очевидно, при суперпозиции конечного числа покрытий с различными величинами интервала (периода) остаются непокрытыми бесконечное число членов множества $Q$. (С другой стороны, суперпозиция без совпадений $k$ покрытий с величиной интервала равной $k$ покрывает множество $Q$ полностью. Самостоятельный интерес представляют покрытия с ПЕРЕМЕННЫМ интервалом.)

А теперь рассмотрим следующие множества:
1) множество всех простых чисел $q$, начиная с $3$;
2) соответствующее этим простым числам множество $M$, чисел $m=2^{n-1}-1$, делящихся на $q$, и
3) множество $R$ чисел $r=2^k-1$.

Возьмем первое из простых чисел $q>2$, т.е. $3$.
Согласно малой теореме Ферма, число $2^{3-1}-1$, или $2^2-1$, делится на $3$.
Далее найдем в множестве $R$ число $r=2^k-1$ с $k=q-1=2$ затем, составим покрытие с интервалом $k$ и,
начиная с $r_1=2^2-1$, покроем им множество $R$.
В результате этой операции у нас появится отмеченное число $r_1=2^2-1$, покроются все числа множества $R$, стоящие на нечетных местах, а все числа, стоящие на четных местах, окажутся непокрытыми. Очевидно, непокрытых чисел осталось бесконечно много. И ВАЖНО, что НИ ОДНО ИЗ НИХ не делится на $3$.

Затем рассмотрим число $q=5$ c $m=2^4-1=(2^2-1)(2^2+1)$ и составим число покрытий, равное числу алгебраических сомножителей в ПОЛНОМ разложении числа $m$, т.е. два.
Причем для первого из покрытий возьмем величину интервала равной $k=2$ и первым членом сделаем $q=2^2-1=3$. Легко видеть, что это покрытие полностью совпадает с предыдущим покрытием.
Второй же сомножитель - $(2^2+1)$ имеет форму, отличную от требуемой (с $(…-1)$). И потому его покрытие будет начинаться с числа $(2^2-1)(2^2+1)=2^4-1$ (т.е. с числа с НАИМЕНЬШЕЙ степенью, в котором числа $(2-1)$ и $(2+1)$ являются делителями, т.е. с числа $(2^4-1)$) и иметь интервал, равный $k=4$.

Итого за две операции мы имеем три покрытия, из которых два полностью совпадают, а третье отличается от первых иной величиной интервала. И потому – согласно 2° - в $R$ остаются непокрытыми бесконечное число чисел, не кратных НИ $3$, НИ $5$.

Ну и так далее – пока не составим покрытия для числа $n$ и не обработаем ими множество $R$ в последний раз. После чего $r-1$ для ЛЮБОГО из бесконечного числа непокрытых чисел $r$ – как и КАЖДОГО из его ПРОСТЫХ делителей не будет содержать сомножителей числа $nr$ – ибо ВСЕ простые числа $a$, являющиеся делителями числа $n$, ОКАЗАЛИСЬ ПОКРЫТЫМИ.

Теорема доказана.
++++++++++++++++++

И, наконец, одно важное свойство любого (в том числе и НЕ ОТМЕЧЕННОГО) из чисел $r=2^k-1$ (где $k>1$) множества $R$:
$r=2^k-1=2u+1$, где $u$ НЕЧЕТНО.
Следовательно, любое число $r=2^k-1$ содержит по меньшей мере один ПРОСТОЙ делитель вида $2u+1$.