Решение системы диофантовых уравнений 2-й степени

[nnosipov]

scwec, лично я с самого начала требовал только внятно сформулированного вопроса. Но ведь ни в какую не хочет! Я бы и объяснил потом, как всю эту жуть за пять минут получить, но ... Имеем то, что имеем.

scwec в сообщении #789309 писал(а):

Это называется "найти лёгкую добычу". Нельзя издеваться над человеком на том основании, что он не имеет математического образования.

Я ни в коем случае не издевался. Вообще, у меня от этой "лёгкой добычи" сегодня бессонница была.

Надо бы пореже здесь писать. Поглядел на свой счётчик --- почти 4 тыщи сообщений за пару лет. И на кой хрен, спрашивается ...

[scwec]

А ведь я специально для Вас дал элементарное доказательство о бесконечности рациональных точек без Лутц-Нагеля в Олимпиадных задачах в "Неравнобедренных треугольниках", а Вы тут черт знает чем занимаетесь.

[shwedka]

scwec в сообщении #789309 писал(а):

Очень часто частное решение уравнения достаётся тяжким трудом.
Об общем решении вообще и мечтать невозможно.
Требовать общего решения от мало сведующего человека просто безнравственно.

Да никто бы у individa ничего бы и не требовал,
если бы он сам не заявлял многократно, что те формулы, что он пишет, дают решение, а что-то доказывать, что математики делают, - занятие не для джигитов.
Вот и пусть он джигитует на уровне требований, которые всем абитуриентам предъявляются.
Решить- найти все решения.

[nnosipov]

scwec в сообщении #789318 писал(а):

А ведь я специально для Вас дал элементарное доказательство о бесконечности рациональных точек без Лутц-Нагеля в Олимпиадных задачах в "Неравнобедренных треугольниках", а Вы тут черт знает чем занимаетесь.

Я пока неспешно думаю над своим доказательством. Разумеется, я заметил, что Вы написали доказательство (та тема у меня давно в закладках), но мне сейчас трудно переключиться на тематику с эллиптическими кривыми --- иные заботы одолевают.

[scwec]

Очень надеюсь, что на этом обсуждение и закончится. Хотя, кто знает.

[individa]

Вечно меня обвиняют в том, чего делать я вообще не собирался.
С самого начала сказал, тему обсуждения полноты решения уравнения исключим. Да поймите как я могу обсуждать это с Вами если сам расчёт не показал. Согласитесь, что это глупо обсуждать то, о чём не сказал.
У меня с Вами разные цели. Меня вообще не интересует этот вопрос.
Мне необходимо отработать на разных уравнениях этот метод. И что самое главное это понять, что передо мной.
Если можно так решить довольно сложные уравнения почему этим не пользоваться.
Вот приведу пример который мне очень нравится. Вроде простое уравнение, а довольно интересные следствия.
Начнём с этого уравнения: $X^2+Y^2=Z^2+1$
Я буду рассматривать некоторые решения этого уравнения.
Они задаются решениями уравнения Пелля: $p^2-2s^2=\pm1$
Число $L$ , задаётся нами и может быть любым и любого знака.
Тогда:
$X=2s(p+s)L+p^2+2ps+2s^2=aL+q$
$Y=(p^2+2ps)L+p^2+2ps+2s^2=bL+q$
$Z=(p^2+2ps+2s^2)L+p^2+4ps+2s^2=cL+t$
Являются решениями этого уравнения.

Так вот оказывается если мы возьмём какое нибудь число $J$
Решения уравнения $p^2-2s^2=\pm{J}$ подставим в нашу формулу,
То числа при $L$ будут Пифагоровой тройкой $a^2+b^2=c^2$
Естественно $b-a=J$
Причём подставляя в формулу всю последовательность решений уравнения Пелля мы пройдём все Пифагоровы тройки с заданной разностью. Учесть надо ещё, что $p,s$ могут быть разных знаков.
Без $L$ являются решениями уравнения Пелля $|t^2-2q^2|=J^2$
Видно что $q=c$ то есть одно уравнение тянет за собой другое.
Да чуть не забыл при заданном $J$ эти формулы дают решения уравнения $X^2+Y^2=Z^2+J^2$

Красивая связь между решениями уравнения Пелля и Пифагоровыми тройками.
Можно потом говорить, это всё элементарно, что и так видно.
Но пока это уравнение не решил, не видел.

[shwedka]

Цитата:

С самого начала сказал, тему обсуждения полноты решения уравнения исключим.

И с этим никто не соглашается.

[provincialka]

individa в сообщении #789439 писал(а):

Вечно меня обвиняют в том, чего делать я вообще не собирался.
С самого начала сказал, тему обсуждения полноты решения уравнения исключим.

Дело за малым. Осталось, чтобы собеседники согласились с вашими правилами.

[Deggial]

individa, я ещё раз специально для Вас напоминаю:

правила форума писал(а):

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны. ... Незнание автором темы критериев, отличающих научно строгие формулировки от нестрогих, не является основанием для исключительного отношения к теме.

Вы не привели доказательств, что приводимые формулы описывают некоторые решения приведенных уравнений (хотя это тривиально). Вы ушли от требуемого определения примитивного решения и начали обсуждать совершенно другое диофантово уравнение.
Кроме того, Вы пишете

individa в сообщении #789439 писал(а):

С самого начала сказал, тему обсуждения полноты решения уравнения исключим.

и одновременно пишете

individa в сообщении #789439 писал(а):

Если можно так решить довольно сложные уравнения

Слова "решить диофантово уравнение" означает "указать способ нахождения всех его решений". Если же Вы находите некоторую бесконечную серию решений уравнения, то так и пишите, что Вы нашли серию решений, не надо врать, что Вы его решили. Если же Вы пишите, что Вы решили уравнение, то Вы тем самым заявляете, что нашли все его решения, а этот факт требует доказательства, которое Вы не привели.
Ещё раз требую от Вас соблюдения правил форума: давайте определения всем терминам, приводите доказательства, выражайтесь корректно, отвечайте конструктивно на вопросы и не уходите в сторону.

upd: орфография исправлена.

[alexo2]

Сильно подозреваю, что Individa не такой уж безграмотный, чтобы не понимать простые требования. Просто, как я понял, он любитель как бы невзначай обронить двусмысленную фразу, а потом "недоумевать" - чего это все так переволновались?.. Как-то таким образом он заявил (правда, на другом форуме), что если в процессе решения уравнения его методом, на одном из этапов появляется некий таинственный "иррациональный корень", то уравнение не имеет решений в целых числах. И, типа того, - для него это обыденное дело, и он, якобы искренне не понимает - что тут такого?..
Думаю, что все это - блеф, а все дело в том, что, видимо, он прекрасно понимает, что если он раскроет свой метод, - он окажется тривиальным и давно известным, и, соответственно, никакого интереса к обсуждению не будет...

[individa]

Надоело мне спорить! Я наверное плохо объясняю, что имею ввиду. Ладно. Подойдём к этому с другой стороны.
Задам вопрос!
Существуют ли ещё формулы описывающие решения данного уравнения, если хоть даже один коэффициент из уравнения не является квадратом?
Я предполагаю, что решения возможны в случае если ниже приведённые корни являются рациональным числом.
То есть $\sqrt{b^2+4a(j-c)}$ , $\sqrt{b^2+4c(j-a)}$ , $\sqrt{j(a+b+c)}$

Тогда решения уравнения: $aX^2+bXY+cY^2=jZ^2$
можно записать следующим образом:

$ X=(2j^2(b+2a)-j(a+b+c)(2j-2c-b\pm\sqrt{b^2+4a(j-c)}))p^2+2j(\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp(b+2a))ps+(2j-2c-b\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2 $

$Y=(2j^2(b+2a)-j(a+b+c)(b+2a\pm\sqrt{b^2+4a(j-c)}))p^2+2j(\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp(b+2a))ps+(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2$

$Z=j(a+b+c)(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})p^2+2((a+b+c)\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{j(b+2a)})ps+(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2$

$............................................................................................................$

$X=((2j-b-2c)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(b+2c\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm(2j-b-2c)\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(b+2c\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$

$Y=((b+2a)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(2j-b-2a\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm(b+2a)\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(2j-b-2a\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$

$Z=((b+2a)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(b+2c\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm(b+2a)\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(b+2c\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$$

$..............................................................................................................$

$X=(2j(b+2c)^2-(b^2+4c(j-a))(j\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2(b+2c)(\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j})sp+(j\mp\sqrt{j(a+b+c)})p^2$

$Y=(2j(2j-b-2a)(b+2c)-(b^2+4c(j-a))(j\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2((2j-2a-b)\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j(b+2c)})sp+(j\mp\sqrt{j(a+b+c)})p^2$$

$Z=(2j(b+2c)^2-(b^2+4c(j-a))(a+b+c\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2(b+2c)(\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j})sp+(a+b+c\mp\sqrt{j(a+b+c)})p^2$$

Числа $p,s$ любые целые, любого знака и задаются нами.
Надеюсь теперь станет ясно, что я имел ввиду под решением уравнения.
Только очень прошу не говорите мне, что Вы можете находить следующие решение, зная предыдущее. Я уже в курсе.
Здесь речь идёт именно о формулах описывающие решения.
Кстати, не думаю, что этому методу может быть альтернатива, в том случае когда в уравнении появляются коэффициенты. Там именно приходится проводить процедуру решения.
Так что жду формул!
Никак не могу эти формулы в одну строчку записать, но ничего прочитаете надеюсь.

[nnosipov]

individa в сообщении #789576 писал(а):

Существуют ли ещё формулы описывающие решения данного уравнения, если хоть даже один коэффициент из уравнения не является квадратом?

Да, существуют. Предлагаю поверить на слово, так как в любом случае выписывать их не буду.

-- Вс ноя 17, 2013 14:59:14 --

scwec, может, Вы попробуете ему объяснить? У Вас это может получиться более популярно, чем у меня. Иначе рано или поздно весь dxdy будет обклеен этими формулами.

[individa]

Может тогда скажите где посмотреть можно будет?

[nnosipov]

Общий способ получения подобных формул называется методом секущих. Он работает для уравнений 2-й степени. Об этом методе можно прочитать, например, здесь
http://kvant.mccme.ru/1978/08/diofantov ... racion.htm
http://kvant.mccme.ru/1987/07/arifmetik ... h_kriv.htm

[individa]

Чушь! Этот метод не даёт формулы для заданных коэффициентов.
Позволяет только для некоторых частных уравнений по предыдущим решениям определить следующие.
Да и не даёт ответ на главный вопрос. Почему у одних уравнений решения в целых числах есть, а у других нет?
Я уже надеялся, что приведёте более существенный пример.