Решение системы диофантовых уравнений 2-й степени

[nnosipov]

individa в сообщении #789602 писал(а):

Позволяет только для некоторых частных уравнений по предыдущим решениям определить следующие.

Этого достаточно, чтобы написать любое количество формул типа тех, что Вы привели.

individa в сообщении #789576 писал(а):

Я предполагаю, что решения возможны в случае если ниже приведённые корни являются рациональным числом.
То есть $\sqrt{b^2+4a(j-c)}$ , $\sqrt{b^2+4c(j-a)}$ , $\sqrt{j(a+b+c)}$

Видите, и Ваш способ не позволяет написать единую формулу, без каких бы то ни было ограничений на коэффициенты уравнения. Непонятно, почему Вы выписали только три выражения с радикалами. Почему не 10, не 100? Ответ очевиден: это бессмысленно, есть на самом деле только одна формула из метода секущих, и вариацией исходной рациональной точки можно получить сколько угодно конкретных формул в Вашем стиле (т.е. с некоторыми ограничениями на коэффициенты). Вы ради любопытства можете попробовать написать ещё одну формулу, потребовав, например, чтобы число $\sqrt{(a+2b+4c)j}$ было рациональным. Но что в этом будет нового и заслуживающего внимания?

[individa]

Смысл есть в этом, просто Вы не понимаете какой он.
Мне не нужна исходная рациональная точка. Сами коэффициенты уравнения определяют существования решения.
Единой формулы для описания решения не существует. И требовать этого такой же абсурд, как требовать от алгебраического уравнения р-й степени одного корня.
Не получите методом секущих формулу. Возьмёте одну известную рациональную точку подставите в свою формулу получите следующую. И так последовательно будете перебирать их всех. Вот умора. И чтоб я так считал? Да не в жизнь!
Но на вопрос не ответили.
Как же всё таки будете определять, что уравнение не имеет решений?
У меня ответ простой, корни должны быть рациональны!

[nnosipov]

individa в сообщении #789618 писал(а):

Как же всё таки будете определять, что уравнение не имеет решений?
У меня ответ простой, корни должны быть рациональны!

Вы утверждаете: если уравнение разрешимо, то те три корня должны быть рациональны. Правильно ли я Вас понял?

[individa]

Не все конечно. Какой нибудь из этих корней будет рационален значит решения есть.
Если я не ошибаюсь, достаточно рассмотреть только эти 3 корня.
Будет очень интересно, если есть ещё корни.

[nnosipov]

individa в сообщении #789647 писал(а):

Если я не ошибаюсь, достаточно рассмотреть только эти 3 корня.

Ну что же, примем это как Вашу рабочую гипотезу. Теперь можно подумать о двух вещах: 1) поискать контрпример к ней; 2) попробовать её доказать.

Во всяком случае, дискуссия вошла в некоторое конструктивное русло. С чем я всех и поздравляю

[Коровьев]

nnosipov в сообщении #789652 писал(а):

Теперь можно подумать о двух вещах: 1) поискать контрпример к ней; 2) попробовать её доказать.

Контрпример - это просто. Кривая
$3x^2 + 2xy + 5y^2 = 69z^2 $
имеет рациональную точку (2,3,1), а все представленные корни не рациональны, и следовательно это исключает второй пункт.

individa в сообщении #789618 писал(а):

Не получите методом секущих формулу. Возьмёте одну известную рациональную точку подставите в свою формулу получите следующую. И так последовательно будете перебирать их всех. Вот умора. И чтоб я так считал? Да не в жизнь!

А это уже есть "космическая глупость" по Булгакову (Не буду приводить цитату полностью) и она характеризует степень вашей некомпетентности в теории диофантовых квадратичных уравнений, в которой нет никаких нерешённых вопросов.
По одной точке для квадратичных уравнений строится параметрическая формула, дающая все решения.
А условия существования и не существования решений для таких квадратичных уравнений выведены ещё 200 лет назад Лежандром.
Посему никто здесь не будет для вас открывать начальную школу ликбеза по теории чисел, да ещё для человека с таким абсолютно ничем не мотивированным гонором.

[nnosipov]

Коровьев в сообщении #789736 писал(а):

Контрпример - это просто.

Конечно. Мне показалось, что ТС сам сможет его обнаружить.

[individa]

Какая та детская аргументация с этим примером $3X^2+2XY+5Y^2=69Z^2$ и ответом $(2,3,1)$
Для Вашего случая Контрпример это не просто.
Когда я говорю, и не только я этого придерживаюсь, записана формула описывающие их решения. Я имею ввиду, что записана формула позволяющая получить бесконечные наборы их примитивных решений.
Если такой формулы нет, значит примитивное решение у данного уравнения может быть одно.
Если Вы скажете, что со мной не согласны тогда, Ваша любимая теорема Ферма не верна. Так как при любых степенях больше 2 можно набрать кучу решений например (0,5,5) или ещё (5,0,5).
Если Вы действительно прочитали бы Лежанра то наверняка заметили бы, что формулировка существования решения данного уравнения. Очень похожа на мои корни которые я привёл.
Очень приятно от Вас слышать, что в этой области никаких вопросов не осталось и всё ясно! Надеюсь, что Ваши товарищи больше на эту тему никаких диссертаций защищать не будут!
Да кстати может приведёте для примера формулу этого уравнения, а мы сравним. И видно будет!
Хотя опыт подсказывает. Если человек говорит, что он знает в этом всё, значит ничего он в этом не знает. Знание всегда вызывает сомнение. У меня по крайне мере много вопросов, а Ваша теория чисел на них ответы не даёт.

[Deggial]

individa, 2-хнедельный бан за пустословие в качестве контраргументов, безграмотность и уход от конструктивной дискуссии.

[individa]

За две недели этот вопрос выяснили на другом форуме. Поэтому к нему не буду возвращаться.
Смысл же в том, что необходимо было рассмотреть эквивалентные квадратичные формы.
Естественно появлялось несколько формул решений этого уравнения.
Сейчас приведу более общую формулу.
Для уравнения:
$aX^2+bY^2+cZ^2=qXY+dXZ+tYZ$
Сделаем замену:
$n=t(2a-t-d-q)+(2b-q)(2c-d)$

$k=(q+t)^2-4b(a+c-d)$

$j=(d+t)^2-4c(a+b-q)$

В зависимости от того какое число $k$ или $j$ является квадратом. Формулы будут соответственные.
Тогда:

$X=(2n(2c-d-t)+j(q+t-2b\pm\sqrt{k}))p^2+2((d+t-2c)\sqrt{k}\mp{n})ps+(2b-q-t\pm\sqrt{k})s^2$

$Y=(2n(2c-d-t)+j(2(a+c-d)-q-t\pm\sqrt{k}))p^2+2((d+t-2c)\sqrt{k}\mp{n})ps+(q+t+2(d-a-c)\pm\sqrt{k})s^2$

$Z=(j(q+t-2b\pm\sqrt{k})-2n(2(a+b-q)-d-t))p^2+2((2(a+b-q)-d-t)\sqrt{k}\mp{n})ps+(2b-q-t\pm\sqrt{k})s^2$

И другая:

$X=(2n(q+t-2b)+k(2c-d-t\pm\sqrt{j}))p^2+2((2b-q-t)\sqrt{j}\mp{n})ps+(d+t-2c\pm\sqrt{j})s^2$

$Y=(2n(2(a+c-d)-q-t)+k(2c-d-t\pm\sqrt{j}))p^2+2((q+t+2(d-a-c))\sqrt{j}\mp{n})ps+(d+t-2c\pm\sqrt{j})s^2$

$Z=(2n(q+t-2b)+k(d+t+2(q-a-b)\pm\sqrt{j}))p^2+2((2b-q-t)\sqrt{j}\mp{n})ps+(2(a+b-q)-d-t\pm\sqrt{j})s^2$

И теперь у нас есть ответ на вопрос о возможных коэффициентах, при которых уравнение
$b(X^2+Y^2+Z^2)=a(XY+XZ+YZ)$
имеет решения. Все решения определяются решениями двух уравнений.

[Shadow]

individa в сообщении #795800 писал(а):

И теперь у нас есть ответ на вопрос о возможных коэффициентах, при которых уравнение
$b(X^2+Y^2+Z^2)=a(XY+XZ+YZ)$
имеет решения. Все решения определяются решениями двух уравнений.

На другом форуме как раз выяснилось, что не имеете ни малейшего понятия при каких коэффициентах уравнение будет иметь (ненулевых) решений.
Надо же, так нагло врать. individa, здесь долго глупостей не терпят. Не заметили?
Наверное заметили...но случай безнадежный.

[individa]

Вот наглость какая!
Столько решений привёл, а он мне заявляет, что не знаю при каких коэффициентов уравнение имеет решений.
На форуме мехмата МГУ кучу формул нарисовал и это, что не считается?
А сам ни одну не смог привести.
Если хотите делать заявления, пожалуйста формулами!

[nnosipov]

Shadow в сообщении #795822 писал(а):

но случай безнадежный.

Полностью согласен.

Предлагаю модераторам закрыть эту тему как бессодержательную. Для меня (и не только) очевидно, что ничего нового про решение уравнений 2-й степени ТС не сможет сообщить, а лишь продолжит захламлять форумное пространство никому не нужными формулами. Эту бессмысленную деятельность пора прекратить.

Кроме того, ТС ярко демонстрирует своё нежелание понять суть ответов, которые участники обсуждения дают на его же вопросы. У меня ощущение, что ответы его и не интересуют. В таком случае сам диалог теряет смысл.

[Deggial]

Тема закрыта как бессодержательная и не предполагающая конструктивное обсуждение.