Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[PAV]

Да, я действительно немного ошибся. Хотя на самом деле из равенства $3C=0$, конечно же, следует $C=0$. Для этого нужно умножить обе части равенства на "число" $\frac{1}{3}C$. В левой части будет $C$, а в правой будет 0.

Но это не очень важно. Теперь смотрите, как изложить ту же систему в общепринятых терминах. Рассмотрим кольцо многочленов от одной переменной $\mathbb{R}[x]$.
В Ваших обозначениях букве $C$ соответствует 1, $A$ соответствует $x$, $B$ соответствует $x^2$.

Факторизуем его по соотношению $x^3-1=0$. Это автоматически дает $AB=C$ и $BB=A$.

Также факторизуем по $1+x+x^2=0$, что дает равенство $A+B+C=0$.

То, что получилось, в точности изоморфно Вашей "системе 1". Условие неотрицательности всех коэффициентов абсолютно ничего не меняет, поскольку если у нас есть многочлен с отрицательными коэффициентами, то к нему можно добавить $1+x+x^2$ достаточное количество раз, чтобы получить равный ему многочлен с положительными коэффициентами.

Отсюда легко получить все интересующие свойства Вашей системы. Легко понять, какие в ней будут делители нуля ну и так далее.

[AD]

PAV писал(а):

AD писал(а):

А вот это уже противоречит выписанным формулам.

Я не понимаю, почему это противоречит. Мы объявляем некоторые объекты равными и все. Где противоречие?

Ну как ...
1. По формуле у меня (1А)+(1Б)+(1С) получается не 0, а (1А+1Б+1С). О том, что кто-то что-то уже давно профакторизовал, меня не уведомили, поэтому это тоже надо было писать в формуле (что-нибудь типа ...(mod А+Б+С))
2. А согласование факторизации с умножением проверять будем?

Добавлено спустя 4 минуты 19 секунд:

PAV, а разве верно, что у нас $x^3\equiv1$? Ведь $$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=1+3A+3B+1=A+B\neq C$

[PAV]

А что проверять? По-моему так факторизовать можно всегда. Другое дело, что все может в ноль схлопнуться, но это ничему не противоречит.

[AD]

Или у нас нет дистрибутивности (кстати, кто-нибудь проверял?), либо $x^3\neq1$.

[PAV]

Так ведь $x^3$ - это не $(A+B)$, а $AB$.

[AD]

Не понял, где у меня ошибка? $AB=C$, значит $A^2B=A$ и $AB^2=B$.

[PAV]

$x^3=1$ означает как раз что $AB=C$.

[AD]

Ааааа, понял. Sorry.

Добавлено спустя 2 минуты 4 секунды:

А недостаточно профакторизовать по $x^2+x+1$, ведь $x^3-1$ на него делится?

Добавлено спустя 57 секунд:

Ну у нас и чат тут, 7 сообщений за 5 минут

[PAV]

Значит, достаточно только по $x^2+x+1=0$. Это я не углядел. Но так зато нагляднее.

Добавлено спустя 5 минут 41 секунду:

Так тогда там делителей нуля не будет, верно? Многочлен ведь этот над R неприводим.

Добавлено спустя 4 минуты 22 секунды:

Тогда, если я правильно понимаю, мы должны получить поле комплексных чисел.

Добавлено спустя 7 минут 24 секунды:

Получается вроде бы так: $C=1$, $A=\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$, $B=-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$.

[AD]

Все возвращается ...

ИСН писал(а):

В некотором смысле, "на самом деле" это банальные комплексные числа, а А и Б - кубические корни из 1.

Добавлено спустя 2 минуты:

Какой ИСН догадливый!

[PAV]

Да, это точно. Подождем комментариев автора темы.

[Someone]

STilda писал(а):

Вы кстати не задумывались над тем, что можно поменять роль (+) и (-) в табличке их умножения, ведь это условность. Тоесть сделать (-)*(-)=(-), (-)*(+)=(+), (+)*(+)=(-).
Получится "зеркальная" математика.

Никакая не зеркальная, точно та же самая. Обозначения сами по себе никакой роли не играют.

[shwedka]

А вот мой соотечественник А.Хренников из VÄXJÖ развивает p-адический анализ, и не просто так, а р-адическую физику в том числе.
Только его не слишком за это уважают в наших краях..

[PAV]

shwedka

[STilda]

PAV писал(а):

Хотя на самом деле из равенства $3C=0$, конечно же, следует $C=0$. Для этого нужно умножить обе части равенства на "число" $\frac{1}{3}C$. В левой части будет $C$, а в правой будет 0.

Пока-что не могу дать вразумительного объяснения, но это не так. Возможно (только предположение), дело в том, что $0$ это единица по сложению, а не число 0. На сейчас знаю лишь то, что есть модели, в которых так как Вы нельзя рассуждать. В системе1, наверное, так можно. Но не всегда так.

PAV писал(а):

То, что получилось, в точности изоморфно Вашей "системе 1".

PAV писал(а):

Получается вроде бы так: $C=1$, $A=\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$, $B=-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}$

А как быть с $A+B$? В комплексных числах операция выполнится, в Системе1 не выполнится. Как тогда быть с изоморфизмом? Я с таким не сталкивался раньше. Изоморфизм предполагает одинаковость аксиоматик двух систем? Тут я не знаю.
Я согласен, что можно говорить о некотором отображении между комплексными числами и числами Системы1.

Дальше, еще хочу заметить нюанс, что $+$ в $1+x+x^2=0$ (на основе которого Вы получили $A+B+C=0$) и $+$ в системе1, где так же $A+B+C=0$ это разные вещи. В системе1 это один $+$ с тремя позициями вокруг (одна или две могут быть пустыми (с числом 0) ). В случае $1+x+x^2=0$ имеем два последовательных действия, тоесть два $+$ с двумя позициями вокруг. Это конечно не формально. Но лучше я пока высказаться не могу. Разница какая-то физическая в этих "плюсах".

PAV писал(а):

Факторизуем его по соотношению $x^3-1=0$

К сожалению я не знаю что это значит, потому этот кусок диалога с AD никак не могу прокоментировать.

AD писал(а):

По формуле у меня (1А)+(1Б)+(1С) получается не 0, а (1А+1Б+1С)

Может уже не актуально. Но. Мы постулировали компенсацию $A+B+C=0$, потому 0 и (1А+1Б+1С) это одно и тоже. Количество для $0$ в этой модели не учавствует.

Добавлено спустя 49 минут 16 секунд:

Корректно ли ставить задачу про изоморфизм ориентированного и неориентированного графа?

Добавлено спустя 3 минуты 18 секунд:

Либо, например, между группой и полем?

По-моему нельзя так.