Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #787595 писал(а):

Нет, нельзя.

Уважаемый nnosipov!
Можете ли вы привести численный пример?

[Someone]

Belfegor в сообщении #787559 писал(а):

Если рассмотреть таблицу Эдвардса для чисел $x^2+3y^2$ до 258 из неё очевидно следует, что $x^2+3y^2 = z^2$, только если $x=y$ и и соответственно $z$ - чётное число.
…
Знаете ли вы другие решения х и у для $x^2+3y^2 = z^2$?

$1^2+3\cdot 4^2=7^2$

nnosipov в сообщении #787595 писал(а):

(например, можно воспользоваться методом секущих)

[Belfegor]

Someone в сообщении #787614 писал(а):

$1^2+3\cdot 4^2=7^2$

Уважаемый Someone!
Спасибо! В таблице Эдвардса есть такие решения, теперь увидел
Может быть вы знаете пример решения и для такой системы:
$x^2+3y^2 = z^2$
$3x^2+y^2 = w^2$

[ananova]

Belfegor в сообщении #787625 писал(а):

Может быть вы знаете пример решения и для такой системы:
$x^2+3y^2 = z^2$
$3x^2+y^2 = w^2$

Уважаемый, Belfegor!
Симметричная система! А что это решение даст нам?

[Belfegor]

ananova в сообщении #787636 писал(а):

А что это решение даст нам?

Уважаемый ananova!
Если одно из них не является квадратом, то можно получить противоречие в выражении, где они являются сомножителями, если они конечно взаимно просты

[ananova]

Получив необходимые знания, продолжаю поиски ответа на вопросы c более конкретной постановкой задачи.

$$(a^2+3b^2) (c^2+3d^2)=(ac \pm 3bd)^2+3(ad \mp cb)^2$$

Если $a=c, b=d$, то допустим получаем квадрат $x^2+3y^2$:

$$(a^2+3b^2) (a^2+3b^2)=(a^2 + 3b^2)^2=x^2+3y^2$$

Могут ли существовать числа $a_1, a_2$ и $b_1, b_2$:

$$(a_1^2+3b_1^2) (a_2^2+3b_2^2)=(a_1a_2 + 3b_1b_2)^2-3(a_1b_2 \mp a_2b_1)^2=(a^2 + 3b^2)$$

Иными словами, можно ли найти числа (подобрать, найти решение каким-то методом) $a_1, a_2$ и $b_1, b_2$, которые:
1) приводят к $a^2 + 3b^2$
2) $a^2 + 3b^2$, в свою очередь, будучи возведенной (возведенным) в квадрат, даст представление вида $x^2+3y^2$?

Гипотетический пример, на ранее приведенном примере

$$1^2+3 \cdot 780^2=1351^2$$

Cуществуют ли решение?

$$(a_1^2+3b_1^2) (a_2^2+3b_2^2)=(a_1a_2 + 3b_1b_2)^2-3(a_1b_2 \mp a_2b_1)^2=1351$$

$$((a_1a_2 + 3b_1b_2)^2-3(a_1b_2 \mp a_2b_1)^2)^2=(a^2 + 3b^2)^2=(1^2+3 \cdot 780^2)=1351^2$$

Если решение невозможно получить в таком виде, то можно это попробовать использовать для доказательства ВТФ. Если нельзя ответить утвердительно, что решений нет, то нет смысла искать в этом противоречие. Вот такая простая логика.

[Коровьев]

ananova в сообщении #787793 писал(а):

Cуществуют ли решение?

$$(a_1^2+3b_1^2) (a_2^2+3b_2^2)=(a_1a_2 + 3b_1b_2)^2-3(a_1b_2 \mp a_2b_1)^2=1351$$

$$((a_1a_2 + 3b_1b_2)^2-3(a_1b_2 \mp a_2b_1)^2)^2=(a^2 + 3b^2)^2=(1^2+3 \cdot 780^2)=1351^2$$

А как же!

$$\left( {2^2 + 3 \cdot 1^2 } \right)\left( {1^2 + 3 \cdot 8^2 } \right) = 22^2 + 3 \cdot 17^2 = 26^2 + 3 \cdot 15^2 = 1351$

$$382^2 + 3 \cdot 748 = 1^2 + 3 \cdot 780^2 = 1351^2 $

И для этого мне хватило простого калькулятора, чтобы не умножать как в школе столбиком, ну и самых элементарных знаний по алгебраической теории чисел.

Что до применения всего этого к Ферма для $n=3$, то всё уже украдено до нас, ещё Эйлером!

[Deggial]

Сообщения individa и их обсуждение отделены в отдельную тему как оффтоп

[victor.l]

Если выполнить$(1+27)^3=a^2+3b^2$по Эдвардсу,что же получится?

[victor.l]

Никто не хочет обсудить как некоторые математики Карла Гаусса "опровергли"?

[temp03]

Коровьев в сообщении #787910 писал(а):

А как же!

$$\left( {2^2 + 3 \cdot 1^2 } \right)\left( {1^2 + 3 \cdot 8^2 } \right) = 22^2 + 3 \cdot 17^2 = 26^2 + 3 \cdot 15^2 = 1351$

по-моему даже для всех $a$, кроме $2$: если $a^2=x^2+3y^2$, то $a=p^2+3q^2$

-- Вс ноя 17, 2013 17:45:52 --

Доказательство примерно так:

1. Пусть $a^2+3b^2$ делится на простое число $p=r^2+3s^2$. Тогда, $(ar-3bs)(ar+3bs)=a^2r^2-9b^2s^2=(a^2+3b^2)r^2-3b^2(r^2+3s^2)\div p$. Откуда либо $ar-3bs\div p$, либо $ar+3bs\div p$.

2. Тогда $\dfrac{a^2+3b^2}{p}=\dfrac{(a^2+3b^2)(r^2+3s^2)}{p^2}=\dfrac{(ar\pm3bs)^2}{p^2}+3\cdot\dfrac{(as\mp br)^2}{p^2}$. То, что либо $ar-3bs\div p$, либо $ar+3bs\div p$ мы доказали в п.1. Т.е. если число $\dfrac{a^2+3b^2}{p}$ целое, то и число $\dfrac{(ar\pm3bs)^2}{p^2}+3\cdot\dfrac{(as\mp br)^2}{p^2}$ - целое. А т.к. $\dfrac{(ar\pm3bs)^2}{p^2}$ - целое, то и $\dfrac{(as\mp br)^2}{p^2}$ - тоже целое. Или $\dfrac{a^2+3b^2}{p}=u^2+3t^2$.

__________________

несложно заметить, что $3$ можно заменить на любое $n$.

[nnosipov]

temp03 в сообщении #789708 писал(а):

по-моему даже для всех $a$, кроме $2$: если $a^2=x^2+3y^2$, то $a=p^2+3q^2$

Чтобы это утверждение стало верным, нужно кое-что дописать --- числа $x$ и $y$ должны быть взаимно просты.

Далее Вы привели доказательство следующего факта: если число вида $a^2+3b^2$ делится на простое число такого же вида, то частное от деления снова будет числом указанного вида. Как из этого факта вытекает сформулированное Вами утверждение?

[Deggial]

victor.l в сообщении #789635 писал(а):

Никто не хочет обсудить как некоторые математики Карла Гаусса "опровергли"?

victor.l, замечание за бессодержательное сообщение.

[victor.l]

Из теоремы Гаусса о вычете минус три следует что диофантово уравнение вида $x^2+3Y^2=z^3$ при(x,y)=1$ имеет решения только тогда, когда все простые числа канонического разложения числа $z$ имеют вид $6n+1$

[victor.l]

Надеюсь не надо объяснять что утверждение о некой не единственности которая мешает доказать лемму Эйлера является ложным.