Решение системы диофантовых уравнений 2-й степени

[individa]

Вообще довольно странно, потому что формула решения уравнения: $Y^2+aX^2=Z^2$
Записывается довольно элементарно:
$Y=p^2-as^2$
$X=2ps$
$Z=p^2+as^2$
Где $p,s$ любые целые числа.
Но меня интересует не это.
Система уравнений
$X^2+aY^2=Z^2 , aX^2+Y^2=T^2$
правда имеет только такие решения?
Если $a=p^2+3$
Тогда: $X=p-1$ , $Y=p+1$
$Z=p^2+p+2$ , $T=p^2-p+2$

Я имею ввиду конечно единственность примитивного решения.

Deggial: отделено от темы Числа вида x^2+3y^2 - дополнение к книге Эдвардса по теории

[ananova]

individa в сообщении #788542 писал(а):

Я имею ввиду конечно единственность примитивного решения.

(Оффтоп)

По моему этим вопросом Вы интересуетесь во всех ветках форума.. (или Ваш двойник)

В книге Рибенбойма касательно ВТФ о решении Ваших уравнений можно достаточно много прочитать. Кроме этого, там указан список первоисточников, которые подробно рассматривают решение этого уравнения. Рекомендую ознакомиться.

[nnosipov]

individa в сообщении #788542 писал(а):

Но меня интересует не это.
Система уравнений
$X^2+aY^2=Z^2 , aX^2+Y^2=T^2$
правда имеет только такие решения?
Если $a=p^2+3$
Тогда: $X=p-1$ , $Y=p+1$
$Z=p^2+p+2$ , $T=p^2-p+2$

Я имею ввиду конечно единственность примитивного решения.

Что такое примитивное решение, нужно уточнять. Что Вы понимаете под примитивным решением?

[individa]

Во первых я не собираюсь возится с этой теоремой, у меня задача по важней.
Надо сперва отработать мат. аппарат чтобы решать диофантовы уравнения. Потом взяться за это. Так будет проще.
Во вторых задал элементарный вопрос ответ который должен быть или да или нет. Если нет приведите формулу.
Я заметил, что в этой области математики никто не даёт конкретного ответа. Требуешь ответ, а говорят надо решить другое уравнение.
Будем делать так! Если берётся какое то уравнение, то считать будем, что его решили только в том случае если получим формулу описывающие его решения. В противном случае нужно признать, что не знаем как это делать.
А то мне уже надоело. Перечитал уже кучу книжек, а везде одно и тоже. Говорят мы это уравнение решили и ни где ни одной формулы не увидел.
Как можно о чём то рассуждать не зная, что такое примитивное решение?
Уточнение не требуется. Формулировка одна.

[ananova]

individa в сообщении #788846 писал(а):

Как можно о чём то рассуждать не зная, что такое примитивное решение?

Надо привыкнуть. Вы не всегда найдете ответы на свои вопросы на форумах. Идите дальше - не останавливайтесь.

[shwedka]

individa в сообщении #788846 писал(а):

Будем делать так! Если берётся какое то уравнение, то считать будем, что его решили только в том случае если получим формулу описывающие его решения.

Нет, будем делать так! Если берётся какое то уравнение, то считать будем, что его решили только в том случае, если получим формулу описывающие
все
его решения.

[individa]

Хорошо! С какого уравнения начнём?

[shwedka]

individa в сообщении #788902 писал(а):

Хорошо! С какого уравнения начнём?

Я бы хотела начать с
$x^3+y^3=z^3$

[nnosipov]

individa в сообщении #788846 писал(а):

Как можно о чём то рассуждать не зная, что такое примитивное решение?
Уточнение не требуется. Формулировка одна.

Уточнение требуется, так как термин "примитивное решение" можно понимать по-разному. Вам это невдомёк, поскольку нормальное математическое образование обошло Вас стороной (сужу по Вашим нелепым, кустарного производства формулам и неряшливо сформулированным вопросам и утверждениям в этой и других темах). Так что уточняйте, если хотите получить ответ.

nnosipov в сообщении #788807 писал(а):

Во первых я не собираюсь возится с этой теоремой

Тогда какого [censored] Вы задавали вопрос?

individa в сообщении #788846 писал(а):

Во вторых задал элементарный вопрос ответ который должен быть или да или нет.

Вы вопрос внятно не сформулировали.

individa в сообщении #788846 писал(а):

Если нет приведите формулу.

Такая подойдёт?

$$ X=(p^7+p^6+6p^5-2p^4+13p^3-3p^2+12p+4)(p^5+3p^4+3p^3+9p^2+4p+4)(p-1), $$

$$ Y=(p^7-p^6+6p^5+2p^4+13p^3+3p^2+12p-4)(p^5-3p^4+3p^3-9p^2+4p-4)(p+1). $$

Если нет, то почему?

individa в сообщении #788846 писал(а):

Если берётся какое то уравнение, то считать будем, что его решили только в том случае если получим формулу описывающие его решения.

Нет, так мы считать не будем, потому что это безграмотно. Уравнение считается решённым, если найдены ВСЕ его решения.

[individa]

nnosipov Вы довольно странные вещи говорите. Как я могу обсуждать с Вами полноту решения если не знаете как находить хотя бы одно из них?
Формулы не бывают кустарными или промышленными. Они определяются законами.
Вопрос я задал потому что подумал, что кто то понял как данную систему надо решать. А оказалось, что не так.
Что это Вы формулу для X,Y привели. Если так любите пунктуальность запишите все переменные и какое уравнение решали!

Госпожа shwedka видите, что получается. Как Вы начали требовать доказательство того, что приведены все решения уравнения все начали тоже самое повторять и не только на этом форуме. Но почему то никто не спрашивает как решения, даже эти получаются.
Это может означать одно, что пока до них не дошло.
Вы должны оценить, что я не бросился доказывать ВТФ довольно элементарными средствами сильно рискуя тем, что как узнают метод решения диофантовых уравнений это будет довольно легко сделать.

Ладно! На мой вопрос так и не ответили. Дробные решения уравнения Маркова могут представлять интерес или необходимо найти только целые решения?

[nnosipov]

individa в сообщении #788980 писал(а):

Что это Вы формулу для X,Y привели. Если так любите пунктуальность запишите все переменные и какое уравнение решали!

У Вас что, провалы памяти? Это кто писал?

individa в сообщении #788542 писал(а):

Система уравнений
$X^2+aY^2=Z^2 , aX^2+Y^2=T^2$
правда имеет только такие решения?
Если $a=p^2+3$
Тогда: $X=p-1$ , $Y=p+1$
$Z=p^2+p+2$ , $T=p^2-p+2$

Формулы для $X$ и $Y$ я привёл, соответствующие выражения для $Z$ и $T$ найдите сами (надеюсь, сумеете это сделать). Устраивает Вас такой ответ на Ваш вопрос? Если нет, то почему?

-- Пт ноя 15, 2013 21:09:25 --

individa в сообщении #788980 писал(а):

Ладно! На мой вопрос так и не ответили.

Я ответил. Если ещё что-то непонятно в моём ответе, спрашивайте.

[alexo2]

individa в сообщении #788980 писал(а):

nnosipov
Вы должны оценить, что я не бросился доказывать ВТФ довольно элементарными средствами

В том-то и дело, что оценить можно будет только после того, как вы "броситесь доказывать ВТФ довольно элементарными средствами"
А выводить формулы для серий из переборных компьютерных решений некоторых уравнений, даже я научился. Но, вот незадача - с доказательством, что они охватывают все решения это ничего общего не имеет..

[individa]

Чушь конечно!
Для получения целочисленных решений необходимо чтоб X,Y,Z,T были некоторой функцией от "а".
Там получается, что все эти 5 величин будут некоторой функцией от некоторых переменных.
Почитайте что ли Серпинского для начала. Там например есть задача, что при а=5 система не имеет решений. А у Вас что они есть?
Если Вы не предоставите к тем формулам которые привели какие значения принимают Z,T ,а я уверен, что сделать этого не сможете. То я с чистой совестью буду Вас игнорировать как дилетанта!

[nnosipov]

individa в сообщении #788998 писал(а):

Для получения целочисленных решений необходимо чтоб X,Y,Z,T были некоторой функцией от "а".
Там получается, что все эти 5 величин будут некоторой функцией от некоторых переменных.

Боже, какой кретин. Даже не в состоянии сформулировать, что ему нужно.

individa в сообщении #788998 писал(а):

Если Вы не предоставите к тем формулам которые привели какие значения принимают Z,T ,а я уверен, что сделать этого не сможете.

$$ Z=(p^2+p+2)(p^{12}-4p^{11}+12p^{10}-20p^9+38p^8-4p^7+52p^6+52p^5+65p^4+8p^3+72p^2-32p+16), $$

$$ T=(p^2-p+2)(p^{12}+4p^{11}+12p^{10}+20p^9+38p^8+4p^7+52p^6-52p^5+65p^4-8p^3+72p^2+32p+16) $$

Так что не так в моём ответе?

[individa]

Ой не могу, что за чепуха!
Ну и при каких "а" это даёт решения?
Хоть на степени посмотрели и приравняли их!