2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 02:00 


18/05/12
73
Добрый день.

Задался решить такую задачу: есть $N$ узлов, выстроенных в ряд, а точнее, имеется бесконечная цепочка узлов.
На каждом узле частица может располагаться в одном только состоянии. Тогда один частица может быть в системе в $N$ возможных состояниях (в пределе, в бесконечном счётном числе состояний).

Рассматривается такая система с неопределённым числом ферми-частиц. Размерность пространства состояний (Фок для описанного одночастичного состояния) $2^N$, в пределе состояний континуально много. Гамильтониан системы:
$$\hat H = \sum_k (a^\dagger_k a_{k+1} + a^\dagger_{k+1} a_k)$$
Интересует энергетический спектр.

Как решить такую задачу?

В конечномерии вроде схема понятна: используем базис из $2^N$ состояний, выписываем $\hat H\psi = E\psi$ в этом базисе и решаем вековое уравнение.

(Оффтоп)

Собственно, решение.
$$\left\langle \beta_1\ldots \beta_N \right| \hat H \left| \alpha_1 \ldots \alpha_N \right\rangle = \sum_{k=1}^\infty \delta_{\beta_k,\alpha_{k+1}}\delta_{\beta_{k+1},\alpha_k}(1-\delta_{\alpha_k,\beta_k}), \;\; \delta_{a,b}=\begin{cases}1, \; a=b \\ 0, \; a\neq b \end{cases}$$
Далее я построил в Wolfram Mathematica решение:
Код:
bin[n_] := Flatten[Array[List, Table[2, {n}], Table[0, {n}]], n - 1];

H[n_] := Table[
  Sum[d[\[Beta][[k]], \[Alpha][[k + 1]]] d[\[Beta][[
      k + 1]], \[Alpha][[k]]] d[\[Beta][[k]], \[Alpha][[k]]], {k, 1, n - 1}]
  , {\[Alpha], bin[n]}, {\[Beta], bin[n]}]

d[a_, b_] := If[a == b, 1, 0]

ArrayPlot[H[#]]& /@ Range[6] (* строим красивые фрактальчики *)

f[n_] := Max[\[Epsilon] /.
   NSolve[Det[H[n] - \[Epsilon] IdentityMatrix[2^n]] == 0, \[Epsilon],
     Reals]]

ListPlot[Log /@ Drop[f /@ Range[8], 2]]

как видно, энергия растёт экспоненциально быстро с ростом числа узлов, то есть на один узел в пределе больших $N$ приходится бесконечно много энергии. Я не понимаю физики процесса...

А что делать в предельном случае $N\to\infty$?
Очень уж хочется взять фурье-образ задачи и перейти к рассмотрению только одного узла и его взаимодействия с соседями. На это наталкивает то, что оператор трансляции на $m$ ячеек $\hat T_m$ коммутирует с $\hat H$, а значит, имеется некоторая сохраняющаяся величина — волновой вектор $\hat\omega$, который принимает значения где-то из своей зоны Бриллюэна $\left[0,2\pi\right)$, по крайней мере так мне говорит интуиция.
Что дальше делать — не знаю.
К тому же такой подход неплохой задел на будущее, когда будет рассматриваться модель узлов разных сортов.

Думается мне, что эта модель именная и где-то уже когда-то кем-то, а может быть и неоднократно, рассматривалась. Но в пока что на глаза не попадалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 02:58 
Заслуженный участник


02/08/11
7014
quantum newbie в сообщении #785887 писал(а):
энергия растёт экспоненциально быстро с ростом числа узлов, то есть на один узел в пределе больших $N$ приходится бесконечно много энергии. Я не понимаю физики процесса...

Я думаю нельзя понять физику процесса, не зная физики гамильтониана. Я не вижу в бесконечной энергии ничего странного: у вас амплитуда прыжка бесконечная в гамильтониане, то есть, образно выражаясь, фермионы бешено носятся туда-обратно. Конечно энергия будет бесконечная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 05:16 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
quantum newbie в сообщении #785887 писал(а):
Как решить такую задачу?


Как? Легко! Введите новые операторы

$$
b_k = A\sum_j e^{ik_jn}a_n
$$

$$
b^+_k =A^* \sum_j e^{-ik_jn}a^+_n
$$

Подберите коэффициент $A$ так, чтобы для новых операторов коммутационные соотношения были такими же, как для старых. Еще придется проанализировать, какой должен быть набор чисел $k_j$. Все это лучше делать для конечного числа узлов $N$ и замкнуть цепочку в кольцо. В самом конце вычислений можете устремить $N$ к бесконечности.

Гамильтониан в результате станет вида

$$
\sum_k E_k b^+_kb_k
$$

С таким гамильтонианом ответ уже очевиден.

Вообще любые билинейные по оператором рождения/уничтожения гамильтонианы преобразуются к такому виду. Для этого нужно только перейти к новым операторам рождения/уничтожения, являющимся линейными комбинациями старых. Естественно, коэффициенты в линейных комбинациях нужно будет найти. В заданной же задаче коэффициенты сразу ясны из трансляционной симметрии.

-- Чт ноя 07, 2013 09:29:11 --

quantum newbie в сообщении #785887 писал(а):
Но в пока что на глаза не попадалась.



Метод ЛКАО в любом учебнике по твердому телу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 11:24 


18/05/12
73
спасибо, но я не понял, как вы ввели экспоненту: что там стоит, по чем идет сумма, почему она дискретна.

после перехода в бесконечность получилась у меня бесконечная энергия даже в пересчете на ячейку!
что это?

что такое лкао?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
quantum newbie в сообщении #785979 писал(а):
что такое лкао?


ЛКАО - метод линейной комбинации атомных орбиталей.
По теме посмотрите модель Хаббарда.
А почему $2^N$ состояний?
При вашем Гамильтониане должна получиться матрица $N$ на $N$, все элементы которой нули, кроме второй верхней и нижней диагоналей, на которых расположены единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 15:23 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
quantum newbie в сообщении #785979 писал(а):
после перехода в бесконечность получилась у меня бесконечная энергия даже в пересчете на ячейку!


Не, уж в пересчете на ячейку не должно быть. Параметр $A$ неверно определен. Он должен быть пропорционален $1/ \sqrt{N}$ что и должно "убить" бесконечность. Проверьте коммутационные соотношения новых операторов. Могла бы получиться АДДИТИВНАЯ бесконечность, если бы у Вас операторы не были нормально упорядочены. Но кого интересуем ПОСТОЯННАЯ добавка к энергии...

-- Чт ноя 07, 2013 19:25:58 --

Freude в сообщении #785981 писал(а):
По теме посмотрите модель Хаббарда.



Модель Хаббарда -- это "из другой оперы". Там, хоть и в крайне упрощенном виде, есть электростатическое взаимодействие электронов друг с другом. Поэтому гамильтониан содержит произведения ЧЕТЫРЕХ а не только двух операторов рождения/уничтожения. А это уже совсем-совсем другой сюжет.

-- Чт ноя 07, 2013 19:29:42 --

quantum newbie в сообщении #785979 писал(а):
но я не понял, как вы ввели экспоненту: что там стоит, по чем идет сумма, почему она дискретна.


Потому что набор волновых векторов в решетке конечного объема тоже конечен (и при этом дискретен). Обычное решеточное (!) фурье-преобразование. Никак иначе и быть не может, нельзя взаимооднозначно отобразить конечный набор на континууальный. Континуум (в пределах зоны Бриллюэна) полчается только в пределе $N \to \infty$.

-- Чт ноя 07, 2013 19:46:14 --

Freude в сообщении #785981 писал(а):
А почему $2^N$ состояний?


Каждый узел может быть занят или не занят (правда, это не есть собственные функции гамильтониана). Можно представить двоичным числом из $N$ бит. Естественно, это не есть набор ОДНОЧАСТИЧНЫХ состояний, это набор всех состояний. Вот одночастичных будет действительно $N$ штук. Одну единичку (и только одну) можно расставить по $N$ узлам $N$ способами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Цитата:
Каждый узел может быть занят или не занят (правда, это не есть собственные функции гамильтониана). Можно представить двоичным числом из $N$ бит. Естественно, это не есть набор ОДНОЧАСТИЧНЫХ состояний, это набор всех состояний. Вот одночастичных будет действительно $N$ штук. Одну единичку (и только одну) можно расставить по $N$ узлам $N$ способами.


Т.е. задача поставленная автором не одночастичная, содержит переменное число частиц, я правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 16:11 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Freude в сообщении #786026 писал(а):
Т.е. задача поставленная автором не одночастичная, содержит переменное число частиц, я правильно понял?


Все вторично-квантованные задачи многочастичные (конечно, одна частица --- частный случай, подпространство всего многочастичного пространства). Правда здесь, в силу билинейного по ферми-операторам характера гамильтониана, многочастичность тривиальна. Но эта тривиальность становится явной только после правильного унитарного преобразования. Переход к линейной комбинации "старых" ферми-операторов --- фактически есть унитарное преобразование. Его можно (но толком не нужно) и явно построить в виде экспоненты от эрмитового оператора с множителем i (т.е. косоэрмитового в итоге). Посмотрите так называемые преобразования Боголюбова. Но преобразования Боголюбова обычно рассматриваются в несколько ином (и несколько менее тривиальном) контексте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 16:36 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
А почему бы не записать гамильтониан в виде
$$
H=(a_1^\dag,a_2^\dag,\ldots,a_n^\dag)\left(\begin{array}{ccccc}
                                       0 & 1 & \ldots && 0 \\
                                       1 & 0 & 1 & &\ldots \\
                                       0 & 1 & 0 & 1&\ldots \\
                                       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots&\ldots\\ 
                                       0 & \ldots & &1 & 0 
                                     \end{array}\right)(a_1,a_2,\ldots,a_n)^{\mbox{т}}
$$
и задача сводится к диагонализации симметричной матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 16:46 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
lucien в сообщении #786033 писал(а):
А почему бы не записать гамильтониан в виде


А это то же самое :-) Только проще еще в кольцо цепочку замкнуть (на физику это не влияет), что даст еще единички в правом верхнем и левом нижнем углах. Тогда дискретное преобразование Фурье --- это и есть диагонализация такой матрицы. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 17:25 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Alex-Yu в сообщении #786035 писал(а):
А это то же самое :-)
Симметричная матрица диагонализируется ортогональным преобразованием. Комплексным коэффициентам тут взяться неоткуда.
И если нужно найти лишь спектр, то задача еще проще -- найти с.з. этой матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 17:57 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
lucien в сообщении #786043 писал(а):
Симметричная матрица диагонализируется ортогональным преобразованием. Комплексным коэффициентам тут взяться неоткуда.
И если нужно найти лишь спектр, то задача еще проще -- найти с.з. этой матрицы.


Ну дык $e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x$. Да, можно все сделать в действительном варианте. Но в комплексном варианте --- физичнее. Просто потому, что базисные функции неприводимых представлений абелевой группы (здесь --- трансляций) комплексны. Из того, что матрица диаганализуется действительным ортогональным преобразованием, вовсе даже не следует, что она не диагонализуется комплексным унитарным. Всегда есть много разных преобразований диаганализующих матрицу :-)

-- Чт ноя 07, 2013 21:59:26 --

lucien в сообщении #786043 писал(а):
И если нужно найти лишь спектр, то задача еще проще -- найти с.з. этой матрицы.



А вот это --- неверно. Собственные числа этой матрицы дают лишь одночастичные уровни энергии. Есть еще многочастичные. Впрочем, многочастичные В ДАННОМ КОНКРЕТНОМ СЛУЧАЕ легко получаются из одночастичных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 18:04 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Alex-Yu в сообщении #786057 писал(а):
Впрочем, многочастичные В ДАННОМ КОНКРЕТНОМ СЛУЧАЕ легко получаются из одночастичных.
Именно это и имелось в виду. Утверждение довольно очевидное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 18:13 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
lucien в сообщении #786063 писал(а):
Именно это и имелось в виду. Утверждение довольно очевидное.


Вы бы лучше, если уж на то пошло, написали формулу для собственных чисел этой матрицы. Они находятся довольно просто. Именно из трансляционной инвариантности и теории неприводимх представлений групп (и тут без комплексных чисел не обойтись). Хотя можно, конечно, и "кустарным" способом, "обойдя" при этом комплексные числа. А то самоочевидные общие утверждения --- это скучно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка фермионов
Сообщение07.11.2013, 18:25 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Alex-Yu в сообщении #786067 писал(а):
Вы бы лучше, если уж на то пошло, написали формулу для собственных чисел этой матрицы
Вообще-то, это задача ТС. Но если на то пошло, то я бы решала р.с.
$$
D_n=\lambda D_{n-1}-D_{n-2}\,,\quad D_1=-\lambda,\, D_2=\lambda^2-1.
$$
А эта задача уже сводится к решений диффура с постоянными коэффициентами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group